Définir un complexe comme couple de réels?

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Mikihisa
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par Mikihisa » 09 Aoû 2015, 18:54

Ah et J'ajouterais :

Partir de ces ensembles pour définir les nombre entier tout en étant conscient de la vraie nature morale des nombre entier est parfaitement possible. Je veux simplement pointe du doigt sur vos idée arrêter selon lesquelles il faudrais accepter bêtement et sans réfléchir une définition car elle est "raisonnable".

D'ailleurs je tiens également a signaler qu'à l'époque de Von Neumann, la théorie des catégorie n'existait pas et on rejetait tout idée selon lesquels il existerais des objet ne pouvant pas être décrit par des ensemble.

C'était d'ailleurs ça l'idée de Von Neumann, formaliser ces choses en désignant les ordinal comme des représentant de ces classes propre qui ne sont pas des ensembles...



Doraki
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par Doraki » 09 Aoû 2015, 20:49

Mikihisa a écrit:Tu n'aimes peut-être pas, mais c'est beaucoup plus raisonnable que ce que tu écris : la classe des singletons n'est pas un ensemble, donc tu es mal barré.
La description des entiers de von Neuman que j'ai rappelée présente l'avantage que est bien un ensemble à éléments, et elle se généralise aussi en une construction des nombres ordinaux.

---> et le cardinal de l'entier n, considérer comme ensemble, c'est lui même. C'est a juste titre qu'on se demande en quoi ce choix est alors pertinent. Pourquoi lui est pas un autre ?
Alors certes vous me répondrez : parceque qu'on part du vide, et que les seuls ensemble que l'on peut construire a partir de cet unique objet : vide sont :
{vide}, {{vide},vide}, {{{vide},vide},vide} etc.....
Mais de la a considérer "que c'est la seul construction raisonnable" ..... D'autant que ça va un peu a l'encontre de la nature morale du nombre entier, c'est a dire une quantité.

Toujours moralement parlant, le nombre 3 est bien la quantité d'objet que l'on trouve dans l'ensemble {{{vide},vide},vide} et pas l'ensemble lui même. Mes objections sont toutafé fondées.

Ah non 3 c'est pas {{{vide},vide},vide} (qui ne contient que 2 éléments) mais {{{vide},vide},{vide},vide}

De toutes façons on se fiche en général éperdument de la manière dont sont construits ces ensembles tant qu'ils vérifient les propriétés essentielles qu'on attend d'eux.
Que ce soit pour les entiers, les n-uplets, les fonctions, les rationnels, les réels, les complexes etc.

Ces constructions sont bien pour se rassurer et se dire que ZFC est suffisamment riche pour qu'on puisse faire nos raisonnements habituels à l'intérieur de ZFC. (on raisonnait sur les nombres rationnels ou les complexes bien avant d'avoir inventé ZFC)
Il est même parfois trop riche, puisqu'il permet de poser des questions que personne n'ira jamais se poser du genre "est-ce que 3 est inclus dans la fonction racine carrée ?" (ce que peut éviter la théorie des types, par exemple)

Que les nombres complexes soit construits comme des matrices, des paires de réels, ou des classes d'équivalence de polynômes réels, ça n'a au final pas une grande importance. Je crois même avoir vu un pdf un jour qui résolvait le problème du topic en définissant C = R union (C' privé de sa copie R) où C' est une construction quelconque de C; et qui s'embêtait à redéfinir chaque opération au cas par cas. (enfin c'était ptetre pas pour C mais en tout cas l'inutilité de la chose m'avait choqué)

Robot

par Robot » 09 Aoû 2015, 23:18

Mikihisa, surveille ton orthographe, ça pique les yeux ! :lol3:

Je te signale que c'est toi qui a commencé à asséner l'idée bien arrêtée
"Quand a l'entier naturel, ce n'est pas un ensemble...."
qui ne veut rien dire, et que j'ai rectifiée.

Doraki : bien d'accord que ce qui compte pour , c'est que c'est la façon universelle d'ajouter une racine carrée de -1 à }. Mais ce n'est pas pour autant qu'on peut négliger les constructions, ne serait-ce que pour s'assurer de l'existence d'une solution à ce problème universel (de ce point de vue, la construction comme est sans doute la plus parlante). Et par ailleurs les différences entre les constructions ne sont pas forcément anodines : il est au moins un contexte où la construction de Cauchy des réels et celle de Dedekind donnent des résultats bien différents !

PS : pourquoi, quand j'entoure -1 des balises TEX, je vois s'afficher ??? Comme ici : (j'ai bien tapé -1 !).

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chan79
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par chan79 » 10 Aoû 2015, 08:50

Robot a écrit:
PS : pourquoi, quand j'entoure -1 des balises TEX, je vois s'afficher ??? Comme ici : (j'ai bien tapé -1 !).

Il faut mettre un espace devant le - pour éviter ce bug

Pseuda
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par Pseuda » 12 Aoû 2015, 16:20

Ben314 a écrit:Juste une mini remarque : ça ne me semble pas très malin "d'identifier" (a,b) a a+ib, en particulier du fait que le "i" là dedans, c'est quoi ?
A mon sens, une fois qu'on a montré que le sous corps de C=R² (*) correspondant aux éléments de la forme (x,0) est isomorphe à R, on identifie le réel x avec le complexe (x,0), puis on pose (définition) i=(0,1) et on obtient naturellement (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0).(0,1)=x+y.i

(*) Oui, oui, avec ce point de vue la, on a bien C=R² qui est une vraie égalité. Mais personnellement je préfère la définition des complexes avec des matrice 2x2, vu qu'elle évite de "sortir d'un chapeau" la multiplication (donc en particulier la fastidieuse preuve de l'associativité de la multiplication)


A mon sens, la définition de la multiplication dans R² ne sort pas d'un chapeau ((a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad+bc)) : il s'agit (à la norme des vecteurs près) des formules d'addition des cos et des sin, qui permet ensuite d'obtenir toutes ces remarquables propriétés des nombres complexes.

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par Ben314 » 12 Aoû 2015, 22:42

Robot a écrit:...il est au moins un contexte où la construction de Cauchy des réels et celle de Dedekind donnent des résultats bien différents !
Tu peut détailler s.t.p. ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Robot

par Robot » 12 Aoû 2015, 23:47

Ben314 a écrit:Tu peut détailler s.t.p. ?


C'était pour Mikihisa, qui semble bien aimer les catégories mais s'est apparemment évanoui dans la nature.
Dans le topos des faisceaux sur un espace topologique, la construction par les suites de Cauchy à partir du faisceau constant donne le faisceau constant , tandis que la construction par les coupures de Dedekind donne le faisceau des fonctions continues à valeurs dans .

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par Ben314 » 13 Aoû 2015, 00:21

Comme ça je mourrais moins idiot (j'y connait rien en faisceaux)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Doraki
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par Doraki » 13 Aoû 2015, 00:37

Robot a écrit:C'était pour Mikihisa, qui semble bien aimer les catégories mais s'est apparemment évanoui dans la nature.
Dans le topos des faisceaux sur un espace topologique, la construction par les suites de Cauchy à partir du faisceau constant donne le faisceau constant , tandis que la construction par les coupures de Dedekind donne le faisceau des fonctions continues à valeurs dans .

Tu peux détailler s.t.p ?

Quel est le rapport entre la construction de R à partir de Q et ton histoire de faisceaux à partir du faisceau constant Q ? (le topos des faisceaux ? kézako ?)

Robot

par Robot » 13 Aoû 2015, 01:11

Doraki a écrit:Tu peux détailler s.t.p ?

Quel est le rapport entre la construction de R à partir de Q et ton histoire de faisceaux à partir du faisceau constant Q ? (le topos des faisceaux ? kézako ?)


Si tu ne sais pas ce qu'est un topos, je ne peux pas me lancer dans l'explication ici. Les gens qui s'intéressent à la théorie des types ont souvent entendu parler de topos.

Si tu veux vraiment voir de plus près et en particulier pourquoi la construction par les coupures de Dedekind donne le faisceau des fonctions continues à valeurs réelles, tu trouveras un texte ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1124275,1124287#msg-1124287 (voir page 19 à 21)

Mikihisa
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par Mikihisa » 13 Aoû 2015, 19:47

"C'était pour Mikihisa, qui semble bien aimer les catégories mais s'est apparemment évanoui dans la nature.
Dans le topos des faisceaux sur un espace topologique, la construction par les suites de Cauchy à partir du faisceau constant donne le faisceau constant , tandis que la construction par les coupures de Dedekind donne le faisceau des fonctions continues à valeurs dans ."

Ah ce me donne envie de m'y intéressé !

 

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