Mikihisa a écrit:Tu n'aimes peut-être pas, mais c'est beaucoup plus raisonnable que ce que tu écris : la classe des singletons n'est pas un ensemble, donc tu es mal barré.
La description des entiers de von Neuman que j'ai rappelée présente l'avantage que est bien un ensemble à éléments, et elle se généralise aussi en une construction des nombres ordinaux.
---> et le cardinal de l'entier n, considérer comme ensemble, c'est lui même. C'est a juste titre qu'on se demande en quoi ce choix est alors pertinent. Pourquoi lui est pas un autre ?
Alors certes vous me répondrez : parceque qu'on part du vide, et que les seuls ensemble que l'on peut construire a partir de cet unique objet : vide sont :
{vide}, {{vide},vide}, {{{vide},vide},vide} etc.....
Mais de la a considérer "que c'est la seul construction raisonnable" ..... D'autant que ça va un peu a l'encontre de la nature morale du nombre entier, c'est a dire une quantité.
Toujours moralement parlant, le nombre 3 est bien la quantité d'objet que l'on trouve dans l'ensemble {{{vide},vide},vide} et pas l'ensemble lui même. Mes objections sont toutafé fondées.
Ah non 3 c'est pas {{{vide},vide},vide} (qui ne contient que 2 éléments) mais {{{vide},vide},{vide},vide}
De toutes façons on se fiche en général éperdument de la manière dont sont construits ces ensembles tant qu'ils vérifient les propriétés essentielles qu'on attend d'eux.
Que ce soit pour les entiers, les n-uplets, les fonctions, les rationnels, les réels, les complexes etc.
Ces constructions sont bien pour se rassurer et se dire que ZFC est suffisamment riche pour qu'on puisse faire nos raisonnements habituels à l'intérieur de ZFC. (on raisonnait sur les nombres rationnels ou les complexes bien avant d'avoir inventé ZFC)
Il est même parfois trop riche, puisqu'il permet de poser des questions que personne n'ira jamais se poser du genre "est-ce que 3 est inclus dans la fonction racine carrée ?" (ce que peut éviter la théorie des types, par exemple)
Que les nombres complexes soit construits comme des matrices, des paires de réels, ou des classes d'équivalence de polynômes réels, ça n'a au final pas une grande importance. Je crois même avoir vu un pdf un jour qui résolvait le problème du topic en définissant C = R union (C' privé de sa copie R) où C' est une construction quelconque de C; et qui s'embêtait à redéfinir chaque opération au cas par cas. (enfin c'était ptetre pas pour C mais en tout cas l'inutilité de la chose m'avait choqué)