Trouver les racines d'un polynôme de degré 3 à coefficients réels

[Lemniscate]

Bonjour,

Je voudrais trouver les racines de a*x^3+b*x^2+c*x+d. a non nul.
En divisant par a Je me ramène à x^3+u*x^2+v*x+w.
En effectuant le changement de variable X=(x+u/3), je me ramène au polynôme :
X^3+p*X+q où p=v-(u^3/3) et q=w+(u/3)*((u^2/3)-v).

Je sais comment savoir combien ce polynôme a de racines réelles en faisant une étude de la fonction associée.
Mon problème est de trouver explicitement (en fonction de p et q) les racines de X^3+p*X+q.
Je me souviens qu'en algèbre on a eu un cours sur la théorie de Gallois et qu'on avait parler de la méthode des radicaux mais je n'y avais rien compris...

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à y voir plus clair ?

Merci d'avance, bonne journée.

[XENSECP]

Bah là c'est fini ^^ Il suffit de faire la méthode de Cardan ;)

[busard_des_roseaux]

Bonjour,
une fois le coeff de supprimé, on pose l'inconnue



on développe par l'identité
et on écrit une condition donnant


et




les deux cubes et sont donnés par une équation du second degré, à coefficients réels.

Si ce trinôme a un , tout baigne , car on peut prendre la racine cubique (réelle) des solutions et pour obtenir une solution en .

Si le trinôme a un , il faut résoudre =un nombre complexe non réel .
et étant les solutions du trinôme.

avec

La solution, avec des nombres complexes écrits en coordonnées polaires (forme trigonométrique) ,se calcule avec , ce qui n'est pas une écriture vraiment algébrique !!! On reste donc sur sa faim dans ce cas-là.


Exemple: si on trouve, dans le cas que u est un nb complexe d'argument
,
et v pareillement,
on n'est pas véritablement avancé, car une telle formule ne donne
,en pratique, qu'une valeur approchée.
On aurait donc pû résoudre l'équation, en valeurs approchées , toute simplement par une méthode d'analyse numérique, comme la méthode
de Newton.

[busard_des_roseaux]

Pour la résolution approchée, la méthode de Newton
donne une solution approchée

on divise par , ce qui donne pour quotient un trinome
du second degré
où les coeff et sont approchés.

reste à encadrer ses racines.

[Lemniscate]

Merci beaucoup pour vos réponses.

Pour la méthode de Cardan j'ai compris. Pour l'approximation des solutions je n'ai pas tout compris au début mais merci de m'avoir donné ce nom, j'ai compris avec Wikipedia. Je trouve que la méthode d'approximation encadrant par des intervalles de la forme [m*10^(-n),(m+1)*10^(-n)] où m et n entier est pas mal aussi si on a une calculatrice et si est réel.

En tout cas merci.
Au revoir.

[chouri-65]

bonjour, je viens de commencer mon année en bts compta et j'ai de grosse difficultés en maths ! je n'ai pas encore étudié ce type d'équation. Est ce que : 2x^3 - 5x² +2x =0, vous parle ? Merci

[mathelot]

bonjour, je viens de commencer mon année en bts compta et j'ai de grosse difficultés en maths ! je n'ai pas encore étudié ce type d'équation. Est ce que : 2x^3 - 5x² +2x =0, vous parle ? Merci

oui, on peut factoriser par x.



c'est une équation "produit nul".

on obtient pour solution la valeur 0 et les solutions de l'équation
du second degré


que l'on résoud en calculant