Récurrence multiple (et autres questions sur les suites)

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Luc
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par Luc » 04 Sep 2012, 23:00

Nightmare a écrit:la condition 2 est équivalente à "il existe une infinité d'entiers n tels que P(n) vraie"

car une partie de N est finie ssi elle est majorée (révision, révision :we: )



Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 04 Sep 2012, 23:03

Luc a écrit:Non, tu as du faire une erreur de calcul :hein: Vérifie.

Pourtant ces deux suites fonctionnent :hein: Je vais revérifier

Luc
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par Luc » 04 Sep 2012, 23:08

Kikoo <3 Bieber a écrit:Pourtant ces deux suites fonctionnent :hein: Je vais revérifier

Oui désolé j'ai été imprécis. Effectivement ces deux suites fonctionnent, mais elles sont essentiellement la même suite (elles ont même raison). La question était de trouver deux suites géométriques de raison différente. C'est important, sinon le système que tu obtiens n'a pas de solution (ce que tu as d'ailleurs montré par ton calcul), à cause du déterminant nul du système linéaire que tu obtiens et du fait que les conditions initiales sont incompatibles (remarque que si tu avais eu et , tu aurais eu une infinité de solutions) .
Et j'en profite pour dire qu'en fait on se fout de la constante devant le r^n, étant donné le résultat de la question 2.

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 04 Sep 2012, 23:08

Je vois que Tom_Pascal est très actif et que même le problème lié au TeX a disparu ! :D

C'est super :)

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 04 Sep 2012, 23:20

Luc a écrit:Oui désolé j'ai été imprécis. Effectivement ces deux suites fonctionnent, mais elles sont essentiellement la même suite (elles ont même raison). La question était de trouver deux suites géométriques de raison différente. C'est important, sinon le système que tu obtiens n'a pas de solution (ce que tu as d'ailleurs montré par ton calcul), à cause du déterminant nul du système linéaire que tu obtiens et du fait que les conditions initiales sont incompatibles (remarque que si tu avais eu et , tu aurais eu une infinité de solutions) .
Et j'en profite pour dire qu'en fait on se fout de la constante devant le r^n, étant donné le résultat de la question 2.

D'accord, c'est très clair :)

Sachant que je dois faire ce truc pour demain, est-il vraiment faisable avec la méthode par récurrence double ?? Je ne vois vraiment pas comment faire ressortir la formule :/

Luc
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par Luc » 04 Sep 2012, 23:22

Kikoo <3 Bieber a écrit:D'accord, c'est très clair :)

Sachant que je dois faire ce truc pour demain, est-il vraiment faisable avec la méthode par récurrence double ?? Je ne vois vraiment pas comment faire ressortir la formule :/

Remarque juste que la suite constante 1 est solution (elle est géométrique de raison 1!), que 2^n aussi, et refais les calculs :we:

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 04 Sep 2012, 23:30

Luc a écrit:Remarque juste que la suite constante 1 est solution (elle est géométrique de raison 1!), que 2^n aussi, et refais les calculs :we:

Oh tiens, j'ai aussi pris la suite stationnaire 1 au début ! Mais je pensais me tromper donc j'ai essayé autre chose ^^
Allez, je vois ça !

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 04 Sep 2012, 23:38

Je trouve la suite définie par .

Me reste plus qu'à appliquer une récurrence double pour le faire dans l'esprit de l'exo et ce sera bon :)
Merci à tous !

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 04 Sep 2012, 23:59

J'ai fini mais chuis insatisfait de la manière dont j'ai trouvé la réponse car le prof ne nous a donné aucun indice supplémentaire... Or ici il a fallu que je passe par un exercice supplémentaire qui m'a permis de conclure grâce à votre aide.

Pour le prochain, un truc du genre : et on me demande que vaut , sachant que ...
Imagination has no ending.

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 05 Sep 2012, 00:05

Il me semble que j'ai quand même quelque chose :


Je peux faire de-même pour les autres.

Par une récurrence forte, je montre que non ?


PS : ouaouh c'es beau sans le fond blanc :o

Luc
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par Luc » 05 Sep 2012, 00:08

Kikoo <3 Bieber a écrit:J'ai fini mais chuis insatisfait de la manière dont j'ai trouvé la réponse car le prof ne nous a donné aucun indice supplémentaire... Or ici il a fallu que je passe par un exercice supplémentaire qui m'a permis de conclure grâce à votre aide.

Je pense que la démarche attendue était de calculer les premiers termes, d'intuiter la forme "évidente" et de montrer le résultat par récurrence. C'est l'inconvénient avec les raisonnements par récurrence : il faut plus ou moins connaître le résultat à l'avance pour le démontrer. C'est le même genre de choses avec les calculs de cardinaux classiques par récurrence.
PS: Ouah oui!

Luc
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par Luc » 05 Sep 2012, 00:10

Kikoo <3 Bieber a écrit:Il me semble que j'ai quand même quelque chose :



Attention à l'indice, c'est en fait
Kikoo <3 Bieber a écrit:Par une récurrence forte, je montre que non ?

Oui!

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 05 Sep 2012, 00:13

Luc a écrit:Attention à l'indice, c'est en fait

Exact :)

C'est bon, j'ai terminé l'hérédité sans encombres !

SaintAmand
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par SaintAmand » 05 Sep 2012, 00:16

Me reste plus qu'à appliquer une récurrence double pour le faire dans l'esprit de l'exo et ce sera bon :)
Merci à tous !


Tu as déjà du l'utiliser pour démontrer l'unicité de la solution.

Kikoo <3 Bieber
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petite question

par Kikoo <3 Bieber » 08 Sep 2012, 12:27

J'exploite ce topic pour éviter d'en créer un autre.

Je sais que avec et n un entier strictement positif.

Est-ce un abus d'écrire ?

Doraki
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par Doraki » 08 Sep 2012, 12:47

oui.
Par exemple, lim n = lim (2n) = + l'infini, mais c'est faux d'en déduire que lim (2n)/n = 1

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 08 Sep 2012, 13:03

Merci :)

En fait, j'ai un encadrement

à partir de là, j'en déduis la limite en l'infini de , via le théorème des gendarmes.
On me demande de montrer que

A moins de considérer que et que je vois pas d'autre méthode :hum:

Luc
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par Luc » 09 Sep 2012, 14:30

Salut,
Kikoo <3 Bieber a écrit:Merci :)

En fait, j'ai un encadrement

à partir de là, j'en déduis la limite en l'infini de , via le théorème des gendarmes.


Il faut être un peu plus précis et faire attention a la différence subtile mais importante entre valeur de la limite (éventuellement infinie) et vitesse de convergence (ou de croissance vers l'infini).
Pour déduire que tend vers l'infini, tu n'as besoin que de la minoration , pas plus. Ce n'est pas le théorème des gendarmes (que l'on appelle plutôt théorème d'encadrement).
Kikoo <3 Bieber a écrit:On me demande de montrer que

Il faut comprendre que cette question est bien différente : on te demande de montrer que tend vers l'infini a la même vitesse que . On se ramène a un problème de détermination de limites (pour lequel on peut utiliser un théorème d'encadrement) en considérant la suite . Il suffit d'encadrer cette suite par deux suites qui tendent vers 1 en l'infini.

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 09 Sep 2012, 14:39

Oui, je comprends ce que tu veux me dire : Pour déterminer la limite en l'infini de , j'invoque le fait que est plus grand que et que tend vers l'infini :)

Pour la deuxième, je donne :

(rédaction très détaillée mais sait-on jamais ;) ).
Et de même, .
Comme nous avons la double inégalité du dessus, cela permet de conclure (th d'encadrement des limites) :

Luc
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par Luc » 09 Sep 2012, 15:14

Kikoo <3 Bieber a écrit:Oui, je comprends ce que tu veux me dire : Pour déterminer la limite en l'infini de , j'invoque le fait que est plus grand que et que tend vers l'infini :)

Exactement. C'est mot pour mot ce qu'il faut écrire dans un devoir.

Kikoo <3 Bieber a écrit:Pour la deuxième, je donne :


(rédaction très détaillée mais sait-on jamais ;) ).

Alors la je t’arrête tout de suite, certes ça donne le bon résultat mais c'est a proscrire. Il est très déconseillé d'aligner les symboles , surtout quand tu fais des opérations avec (genre quotient, passage a l'exponentielle, etc.). D'une part parce que tu ne justifies pas la convergence des choses a droite du symbole, et d'autre part parce que c'est souvent faux que l'on peut intervertir limite et opérations. En particulier il est faux que si et tendent vers l'infini en l'infini, avec , alors aussi. Prends par exemple

Il faut donc trouver une autre façon, par exemple en encadrant par deux choses "aussi grosses" que ln(n) en l'infini. On pourra utiliser la propriété ln(2n)=ln(n)+ln(2)...
Kikoo <3 Bieber a écrit:Et de même, .

Ça par contre tu as le droit de le faire, mais la rédaction et donc est bien meilleure.
Kikoo <3 Bieber a écrit:Comme nous avons la double inégalité du dessus, cela permet de conclure (th d'encadrement des limites) :

Ça c'est très bien (tu peux même te contenter de "D’après le th d'encadrement des limites, ..." c'est plus concis.

 

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