Recherche d'une formule de la somme des racines carrés consécutif

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
donald141
Messages: 2
Enregistré le: 23 Jan 2009, 20:05

Recherche d'une formule de la somme des racines carrés consécutif

par donald141 » 23 Jan 2009, 20:40

Bonjour,
Je viens de terminer la démonstration de la somme des carrés consécutif : 1/6*n*(n+1)(2n+1) = 1² + 2² + 3² ... + n² .
Je suis a la recherche d'une formule pour calculé la somme des racines carrés consécutives : racine(1) + racine(2) + racine(3) + ... + racine ( n) .
Cela fais plusieurs jour que je cherche en utilisant comme piste la démonstration de la somme des carrés consécutif , sans aboutir et je n'ai pas trouvé d'aide sur internet.
Pourriez vous m'aider ? S'il vous plait.
Au revoir



Clembou
Membre Complexe
Messages: 2732
Enregistré le: 03 Aoû 2006, 12:00

par Clembou » 23 Jan 2009, 20:50

donald141 a écrit:Bonjour,
Je viens de terminer la démonstration de la somme des carrés consécutif : 1/6*n*(n+1)(2n+1) = 1² + 2² + 3² ... + n² .
Je suis a la recherche d'une formule pour calculé la somme des racines carrés consécutives : racine(1) + racine(2) + racine(3) + ... + racine ( n) .
Cela fais plusieurs jour que je cherche en utilisant comme piste la démonstration de la somme des carrés consécutif , sans aboutir et je n'ai pas trouvé d'aide sur internet.
Pourriez vous m'aider ? S'il vous plait.
Au revoir


Ce sera difficile de trouver une telle formule. Est-ce que tu as réussi à démontrer que :


Avatar de l’utilisateur
leon1789
Membre Transcendant
Messages: 5201
Enregistré le: 27 Nov 2007, 16:25

par leon1789 » 23 Jan 2009, 21:14

Clembou a écrit:Ce sera difficile de trouver une telle formule. Est-ce que tu as réussi à démontrer que :



yos
Membre Transcendant
Messages: 4858
Enregistré le: 10 Nov 2005, 21:20

par yos » 23 Jan 2009, 21:25

Te contenterais-tu d'un encadrement?

Pythales
Vétéran
Messages: 1158
Enregistré le: 05 Déc 2005, 15:54

par Pythales » 23 Jan 2009, 22:31

Une autre majoration :
De l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
avec et
on déduit :

JJa
Membre Relatif
Messages: 254
Enregistré le: 06 Mar 2008, 16:52

par JJa » 24 Jan 2009, 11:50

Bonjour donald141,

inutile de chercher par les méthodes élémentaires : cette série limitée ne peut pas se réduite à une formule simple avec les fonctions usuelles.
Elle s'exprime avec une fonction spéciale, la fonction Phi de Lerch :
La somme de racine(k) pour k=1 à k=n est égale à LerchPhi(1 ; -1/2 ; 1)-LerchPhi(1 ; -1/2 ; n+1)
Remarque : le second paramètre étant négatif, la fonction est donc prise dans le domaine de son prolongement analytique.
Pour les calculs numériques, soit on fait directement la somme des racines carrées, soit on utilise la formule précédente (ce qui est avantageux quand n est grand) si la fonction de Lerch est implémentée dans le logiciel de calcul dont on dispose (par exemple, elle existe dans Mathematica).

Avatar de l’utilisateur
mathelot
Vétéran
Messages: 8775
Enregistré le: 08 Juin 2006, 08:55

par mathelot » 24 Jan 2009, 21:55

JJa a écrit:Bonjour donald141,

inutile de chercher par les méthodes élémentaires : cette série limitée ne peut pas se réduite à une formule simple avec les fonctions usuelles.



je suis sûr qu'il y a une formule :doh: reste plus qu'à la trouver.

pour la somme infinie:



ça fait combien ?

JJa
Membre Relatif
Messages: 254
Enregistré le: 06 Mar 2008, 16:52

par JJa » 24 Jan 2009, 23:46

La somme infinie est infinie puisque la série n'est pas convergente pour n tendant vers l'infini.
Cela n'a aucun rapport avec Gamma(-1/2) = -2*Sqrt(pi)

skilveg
Membre Relatif
Messages: 462
Enregistré le: 21 Mai 2008, 22:29

par skilveg » 25 Jan 2009, 01:21

Ce serait plutôt , si on va par là... Mais je ne suis pas sûr que ça apporte grand chose.

Avatar de l’utilisateur
mathelot
Vétéran
Messages: 8775
Enregistré le: 08 Juin 2006, 08:55

lapsus scriptae

par mathelot » 25 Jan 2009, 04:33

skilveg a écrit:Ce serait plutôt , si on va par là... Mais je ne suis pas sûr que ça apporte grand chose.


oui,dsl. il fallait lire

combien ça vaut ?

JJa
Membre Relatif
Messages: 254
Enregistré le: 06 Mar 2008, 16:52

par JJa » 25 Jan 2009, 10:50

Zêta(-1/2) = -Zeta(3/2)/(4pi) = -0,207886..
Mais, comme le dit skilveg, cela n'apporte rien pour la bonne raison que ce n'est pas égal à la série infinie de terme général racine(n).
En effet, la définition de la fonction zêta(x) par la série infinie de terme général 1/n^x n'est valide que pour x>1.
Cela n'aurait pas de sens de définir une fonction par une série qui ne converge pas.
Pour x<1 (comme dans le cas présent x=-1/2) c'est le prolongement analytique qui est valide et qui permet le calcul de zêta(x<1):
zêta(x) = 2*Gamma(1-x)*zêta(1-x)*cos(pi*(1-x)/2)/((2pi)^(1-x))
C'est une erreur d'écrire que zêta(-1/2)=Somme(1/racine(n)) pour n=1 à infini.
En effet : zêta(-1/2) est un réel fini
Au contraire, la série ne converge pas et a donc une valeur infinie
.
Pour en revenir à la question initiale de donald141, je ne pense pas qu'il y ait de formule plus simple que celle que j'ai signalée dans mon message d'hier 10h45, mais qui nécessite la connaissance de la fonction de Lerch.
Je ne vois d'ailleurs pas pourquoi on serait plus réticent à l'usage de cette fonction qu'à l'usage de la fonction de Riemann, ou à celle d'Hurwitz, ou à d'autres. Il n'y a pas de différence fondamentale de nature entre ces fonctions. La seule différence vient du fait qu'on a plus ou moins l'habitude d'utiliser l'une ou l'autre. Donc donner un résultat formel avec la fonction Phi de Lerch n'a rien d'anormal et ne doit pas être considéré comme plus exotique que si l'on avait obtenu le résultat avec une formule comportant la fonction de zêta de Riemann.

Avatar de l’utilisateur
mathelot
Vétéran
Messages: 8775
Enregistré le: 08 Juin 2006, 08:55

par mathelot » 25 Jan 2009, 14:14

JJa a écrit:Cela n'aurait pas de sens de définir une fonction par une série qui ne converge pas.


euh, il y a des gens qui ont sommé les séries divergentes
(cf "divergent series" de Hardy, semble-t-il), et même pendant 300 pages.
Euler itou. içi

d'ailleurs , on peut sommer
par ex ou

JJa a écrit:Je ne vois d'ailleurs pas pourquoi on serait plus réticent à l'usage de cette fonction qu'à l'usage de la fonction de Riemann, ou à celle d'Hurwitz, ou à d'autres. Il n'y a pas de différence fondamentale de nature entre ces fonctions.


tout à fait d'accord. merçi de me l'avoir rappelé.

donald141
Messages: 2
Enregistré le: 23 Jan 2009, 20:05

par donald141 » 25 Jan 2009, 20:12

merci pour toute vos réponses.
J'ai demandé de l'aide à mon professeur de Mathematique qui m'a dit que je devait utilisé une autre methode pour mon calcule.

skilveg
Membre Relatif
Messages: 462
Enregistré le: 21 Mai 2008, 22:29

par skilveg » 25 Jan 2009, 21:19

En fait l'idée c'était plutôt que l'on ne peut pas exprimer explicitement cette somme (sauf erreur).

JJa
Membre Relatif
Messages: 254
Enregistré le: 06 Mar 2008, 16:52

par JJa » 26 Jan 2009, 00:08

Salut donald141,

ce n'est pas une surprise que ton prof. t'ait dit de chercher une autre méthode. On le savait tous depuis le début qu'on ne t'aurait jamais demandé quelque chose d'aussi difficile et que, par conséquent, ce n'était pas ce qui était nécessaire pour répondre à ton problème.
Mais voilà, tu n'as pas dit exactement quel était l'énoncé précis. Certains, comme Yos et Pythales, ont essayé de deviner et ont pensé que c'était des encadrements qu'il fallait utiliser. On ne pouvait pas t'aider plus que cela.
Ensuite, toutes ces choses compliquées, tu n'en as pas besoin : c'est simplement, pour les habitués du forum, une façon de s'amuser entre eux.

Avatar de l’utilisateur
mathelot
Vétéran
Messages: 8775
Enregistré le: 08 Juin 2006, 08:55

par mathelot » 26 Jan 2009, 15:31

re,

question

quand n augmente, le degré du nombre algébrique

augmente.

a-t-on une estimation asymptotique de cet entier ?

merçi d'avance.

Doraki
Vétéran
Messages: 4980
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 12:07

par Doraki » 26 Jan 2009, 16:27

çe ne serait pas 2^(pi(n)) ?

yos
Membre Transcendant
Messages: 4858
Enregistré le: 10 Nov 2005, 21:20

par yos » 26 Jan 2009, 19:45

Doraki a écrit:çe ne serait pas 2^(pi(n)) ?

s étant dans l'extension , c'est clairement un majorant du degré de s.
J'ai l'impression qu'un corps plus petit peut pas aller donc tu dois avoir bon.

Gloro
Messages: 2
Enregistré le: 16 Sep 2015, 14:59

J'ai trouvé la formule dans un article récent en anglais

par Gloro » 16 Sep 2015, 15:21

yos a écrit:Te contenterais-tu d'un encadrement?


Salut tout le monde. Il existe une formule pour la somme des racines carrées sur le WEB. La démonstration est détaillée (en anglais) dans un article intitulée "Sum of Square Roots for Natural Whole Numbers: A New Essay to Solve an Old Economic Problem". Suivez le lien Web: http://www.ahewar.org/eng/show.art.asp?t=0&userID=0&aid=2158

Good Luck.

Avatar de l’utilisateur
chan79
Modérateur
Messages: 9518
Enregistré le: 04 Mar 2007, 20:39

par chan79 » 16 Sep 2015, 16:20

Gloro a écrit:Suivez le lien Web: http://www.ahewar.org/eng/show.art.asp?t=0&userID=0&aid=2158

Good Luck.

Salut
Ca donne bien une valeur approchée du résultat

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 12 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite