Recherche d'une formule de la somme des racines carrés consécutif

[donald141]

Bonjour,
Je viens de terminer la démonstration de la somme des carrés consécutif : 1/6*n*(n+1)(2n+1) = 1² + 2² + 3² ... + n² .
Je suis a la recherche d'une formule pour calculé la somme des racines carrés consécutives : racine(1) + racine(2) + racine(3) + ... + racine ( n) .
Cela fais plusieurs jour que je cherche en utilisant comme piste la démonstration de la somme des carrés consécutif , sans aboutir et je n'ai pas trouvé d'aide sur internet.
Pourriez vous m'aider ? S'il vous plait.
Au revoir

[Clembou]

Bonjour,
Je viens de terminer la démonstration de la somme des carrés consécutif : 1/6*n*(n+1)(2n+1) = 1² + 2² + 3² ... + n² .
Je suis a la recherche d'une formule pour calculé la somme des racines carrés consécutives : racine(1) + racine(2) + racine(3) + ... + racine ( n) .
Cela fais plusieurs jour que je cherche en utilisant comme piste la démonstration de la somme des carrés consécutif , sans aboutir et je n'ai pas trouvé d'aide sur internet.
Pourriez vous m'aider ? S'il vous plait.
Au revoir

Ce sera difficile de trouver une telle formule. Est-ce que tu as réussi à démontrer que :

[leon1789]

Ce sera difficile de trouver une telle formule. Est-ce que tu as réussi à démontrer que :

[yos]

Te contenterais-tu d'un encadrement?

[Pythales]

Une autre majoration :
De l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
avec et
on déduit :

[JJa]

Bonjour donald141,

inutile de chercher par les méthodes élémentaires : cette série limitée ne peut pas se réduite à une formule simple avec les fonctions usuelles.
Elle s'exprime avec une fonction spéciale, la fonction Phi de Lerch :
La somme de racine(k) pour k=1 à k=n est égale à LerchPhi(1 ; -1/2 ; 1)-LerchPhi(1 ; -1/2 ; n+1)
Remarque : le second paramètre étant négatif, la fonction est donc prise dans le domaine de son prolongement analytique.
Pour les calculs numériques, soit on fait directement la somme des racines carrées, soit on utilise la formule précédente (ce qui est avantageux quand n est grand) si la fonction de Lerch est implémentée dans le logiciel de calcul dont on dispose (par exemple, elle existe dans Mathematica).

[mathelot]

Bonjour donald141,

inutile de chercher par les méthodes élémentaires : cette série limitée ne peut pas se réduite à une formule simple avec les fonctions usuelles.

je suis sûr qu'il y a une formule :doh: reste plus qu'à la trouver.

pour la somme infinie:



ça fait combien ?

[JJa]

La somme infinie est infinie puisque la série n'est pas convergente pour n tendant vers l'infini.
Cela n'a aucun rapport avec Gamma(-1/2) = -2*Sqrt(pi)

[skilveg]

Ce serait plutôt , si on va par là... Mais je ne suis pas sûr que ça apporte grand chose.

[mathelot]

Ce serait plutôt , si on va par là... Mais je ne suis pas sûr que ça apporte grand chose.

oui,dsl. il fallait lire

combien ça vaut ?

[JJa]

Zêta(-1/2) = -Zeta(3/2)/(4pi) = -0,207886..
Mais, comme le dit skilveg, cela n'apporte rien pour la bonne raison que ce n'est pas égal à la série infinie de terme général racine(n).
En effet, la définition de la fonction zêta(x) par la série infinie de terme général 1/n^x n'est valide que pour x>1.
Cela n'aurait pas de sens de définir une fonction par une série qui ne converge pas.
Pour x<1 (comme dans le cas présent x=-1/2) c'est le prolongement analytique qui est valide et qui permet le calcul de zêta(x<1):
zêta(x) = 2*Gamma(1-x)*zêta(1-x)*cos(pi*(1-x)/2)/((2pi)^(1-x))
C'est une erreur d'écrire que zêta(-1/2)=Somme(1/racine(n)) pour n=1 à infini.
En effet : zêta(-1/2) est un réel fini
Au contraire, la série ne converge pas et a donc une valeur infinie
.
Pour en revenir à la question initiale de donald141, je ne pense pas qu'il y ait de formule plus simple que celle que j'ai signalée dans mon message d'hier 10h45, mais qui nécessite la connaissance de la fonction de Lerch.
Je ne vois d'ailleurs pas pourquoi on serait plus réticent à l'usage de cette fonction qu'à l'usage de la fonction de Riemann, ou à celle d'Hurwitz, ou à d'autres. Il n'y a pas de différence fondamentale de nature entre ces fonctions. La seule différence vient du fait qu'on a plus ou moins l'habitude d'utiliser l'une ou l'autre. Donc donner un résultat formel avec la fonction Phi de Lerch n'a rien d'anormal et ne doit pas être considéré comme plus exotique que si l'on avait obtenu le résultat avec une formule comportant la fonction de zêta de Riemann.

[mathelot]

Cela n'aurait pas de sens de définir une fonction par une série qui ne converge pas.

euh, il y a des gens qui ont sommé les séries divergentes
(cf "divergent series" de Hardy, semble-t-il), et même pendant 300 pages.
Euler itou. içi

d'ailleurs , on peut sommer
par ex ou

Je ne vois d'ailleurs pas pourquoi on serait plus réticent à l'usage de cette fonction qu'à l'usage de la fonction de Riemann, ou à celle d'Hurwitz, ou à d'autres. Il n'y a pas de différence fondamentale de nature entre ces fonctions.

tout à fait d'accord. merçi de me l'avoir rappelé.

[donald141]

merci pour toute vos réponses.
J'ai demandé de l'aide à mon professeur de Mathematique qui m'a dit que je devait utilisé une autre methode pour mon calcule.

[skilveg]

En fait l'idée c'était plutôt que l'on ne peut pas exprimer explicitement cette somme (sauf erreur).

[JJa]

Salut donald141,

ce n'est pas une surprise que ton prof. t'ait dit de chercher une autre méthode. On le savait tous depuis le début qu'on ne t'aurait jamais demandé quelque chose d'aussi difficile et que, par conséquent, ce n'était pas ce qui était nécessaire pour répondre à ton problème.
Mais voilà, tu n'as pas dit exactement quel était l'énoncé précis. Certains, comme Yos et Pythales, ont essayé de deviner et ont pensé que c'était des encadrements qu'il fallait utiliser. On ne pouvait pas t'aider plus que cela.
Ensuite, toutes ces choses compliquées, tu n'en as pas besoin : c'est simplement, pour les habitués du forum, une façon de s'amuser entre eux.

[mathelot]

re,

question

quand n augmente, le degré du nombre algébrique

augmente.

a-t-on une estimation asymptotique de cet entier ?

merçi d'avance.

[Doraki]

çe ne serait pas 2^(pi(n)) ?

[yos]

çe ne serait pas 2^(pi(n)) ?

s étant dans l'extension , c'est clairement un majorant du degré de s.
J'ai l'impression qu'un corps plus petit peut pas aller donc tu dois avoir bon.

[Gloro]

Te contenterais-tu d'un encadrement?

Salut tout le monde. Il existe une formule pour la somme des racines carrées sur le WEB. La démonstration est détaillée (en anglais) dans un article intitulée "Sum of Square Roots for Natural Whole Numbers: A New Essay to Solve an Old Economic Problem". Suivez le lien Web: http://www.ahewar.org/eng/show.art.asp?t=0&userID=0&aid=2158

Good Luck.

[chan79]

Suivez le lien Web: http://www.ahewar.org/eng/show.art.asp?t=0&userID=0&aid=2158

Good Luck.

Salut
Ca donne bien une valeur approchée du résultat