Racines de l'unité dans Z/pZ

[schelde]

Bonjour à tous,

J'aimerais montrer l'énoncé suivant :

Soit un nombre premier et un entier positif tel que .
Alors, il existe exactement racines èmes de l'unité dans .

Pour ce faire, j'ai tenté d'écrire avec .

On a alors, .
Donc, est une racine ème de l'unité.

On sait par ailleurs que est un corps. Le polynôme admet donc au plus racines dans .
On a donc au plus racines èmes de l'unité dans .

Mais comment voir que l'on a obtenu (au moins) racines distinctes ?

Merci d'avance pour votre aide

[Mimosa]

Bonjour

Le plus facile est d'utiliser le fait que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. Mais as-tu ça en stock?

[schelde]

Bonjour,

Merci pour ta réponse.

Oui, j'y ai pensé, mais je ne vois pas trop comment l'utiliser (si ce n'est pour dire que )...

Je vois bien qu'il y en a au moins une, mais je ne vois pas pourquoi il y en aurait distinctes...

[Mimosa]

Comme le groupe multiplicatif est cyclique, soit un générateur. Donc les éléments sont tous distincts.


Alors si , les racines que tu cherches sont

[schelde]

Ok, merci beaucoup !