Sup ||f(x)|| sur la sphère unité et la boule ferme unité

[Ssbb]

Bonjour, je ne comprend pas une démonstration de cette proposition :
Soit f une appli linéaire de E dans F (evn) tel que f soit continue. J’appelle B la boule fermée unité et S la sphère unité.
Je dois montrer que sup |f(x)| sur B=sup|f(x)| sur S . (Dsl pour les notations).

1/ comme S inclus dans B alors sup |f(x)| sur S <= sup |f(x)| sur B (ok)

2/ on prend a différent de 0 dans B
On prouve que |f(a)| <= sup |f(x)| sur S (ok)
Ensuite pour a=0 |f(0)|=0 donc <= sup |f(x)| sur S. (Ok)

Pourquoi cela met fin à la démonstration ?
Pour moi le sup n’appartient pas toujours à l’ensemble donc c’est pas évident de conclure immédiatement

[mathelot]

bonjour,
en dimension finie, la sphère S est compacte.

[Ben314]

Salut,

Pourquoi cela met fin à la démonstration ?
Pour moi le sup n’appartient pas toujours à l’ensemble donc c’est pas évident de conclure immédiatement

Certes, le sup n'est pas forcément atteint, mais ça ne change rien : lorsque tu montre que tout les éléments d'une partie (non vide) de R sont <= M, ben ça veut dire que M est un majorant de ta partie et donc que le sup (qui est le plus petit majorant ) est <= M.
En bref, dire que le sup d'une partie est <= M, ben c'est exactement totalement pareil que de dire que M est un majorant de la partie : c'est la définition même du sup.

[Ssbb]

Ah oui merci, effectivement