Racines complexes d'un polynôme irréductible dans Q.

[Waax22951]

Bonjour,
Je publie ce post car il y a une exo qui me pose quelques problèmes...
Je donne l'énoncé ci-dessous:

Montrer que tout polynôme irréductible dans Q ne possède pas de racines doubles dans C.


II est clair que c'est vrai lorsque son degré est 1, donc on peut supposer que le polynôme considéré (noté P) ne possède pas de racines dans Q.
Mais je ne vois pas comment continuer: que la racine soit réelle ou complexe non réelle, je ne vois pas vraiment pourquoi elle doit être simple.
J'ai pensé aussi raisonné par contraposée, mais ça ne m'aide pas véritablement..!

Des idées ?

Merci d'avance et bonne journée !

[zygomatique]

salut

il vit où ton polynome ?

[Waax22951]

Ah oui j'ai oublié de le précisé: il est bien sûr à coefficients dans Q !

[zygomatique]

par contraposée ::

soit P dans Q[x]; alors :

1/ si z complexe est racine alors son conjugué z* aussi

2/ si z est racine double alors son conjugué z* aussi

c'est donc évidemment vrai pour tout polynome de degré < 4

si deg P >= 4 et admet la racine double z

il faut alors montrer que [(x - z)(x - z*)]^2 est a coefficient rationnel

...

[Ben314]

Salut,
Perso, je le ferais plutôt par de "l'algèbre pure" :
Les racines double (ou plus) d'un polynôme de Q[X] sont très exactement les racine dans C du pgcd(P,P') qui bien entendu est lui aussi dans Q[X] (algorithme d'Euclide).
Or pgcd(P,P') divise P et est évidement de degré strictement plus petit que celui de P, donc s'il est différent de 1, c'est que P n'est pas irréductible.

[zygomatique]

bien sur ... c'est surtout tellement plus simple ....

[Waax22951]

Bonjour,
En effet, c'est court et efficace..!
Merci beaucoup !

[Hehugo]

par contraposée ::


il faut alors montrer que [(x - z)(x - z*)]^2 est a coefficient rationnel

...

Bonsoir, il me semble que ce n'est pas le cas en général, après avoir posé la chose (Par exemple le coef du cube vaut 2Re(z) qui n'a pas de raison particulière d'appartenir à Q non ?)