Polynome irréductible

par **ndiayette** » 21 Mai 2007, 17:50

Bonjour,
Je voudrais savoir si 3x^7-12x^6+6x^4-66x^3+24x-18 est irréductible dans Z[X], je remarque bien que l'on peut factoriser ce polynôme par 3 mais je ne suis pas si cela entraine la réductibilité dans Z[X]. Par ailleurs j'ai montré par le critère d'Eisenstein que x^7-4x^6+2x^4-22x^3+8x-6 est irréductible dans Z[X].
Merci pour vos réponses!!

par **jahbromo** » 22 Mai 2007, 15:26

ndiayette a écrit:Bonjour,
Je voudrais savoir si 3x^7-12x^6+6x^4-66x^3+24x-18 est irréductible dans Z[X], je remarque bien que l'on peut factoriser ce polynôme par 3 mais je ne suis pas si cela entraine la réductibilité dans Z[X]. Par ailleurs j'ai montré par le critère d'Eisenstein que x^7-4x^6+2x^4-22x^3+8x-6 est irréductible dans Z[X].
Merci pour vos réponses!!

Le critere D Eistein et gauss n est pas valble sur Z[X] mair sur Q.

par **ndiayette** » 23 Mai 2007, 15:57

Merci Rain' et jahbromo
Si on a le polynome x^7-4x^6+2x^4-22x^3+8x-6 en utilisant le critère d'Eisenstein on montre qu'il est irréductible dans Q[X] puis comme c(P)=1 alors il est irréductible dans Z[X] non?

par **abcd22** » 23 Mai 2007, 16:15

Rain' a écrit:Oui en principe, les constantes ne changent rien en ce qui concerne l'irréductibilité des polynômes.

Si si, 3 n'est pas inversible dans Z[X] donc 3X n'est pas irreductible dans Z[X] par exemple : il se decompose en produit de 2 elements de Z[X] dont aucun n'est inversible. L'etude des modules est beaucoup plus compliquee que celle des espaces vectoriels a cause de ca.

par **abcd22** » 23 Mai 2007, 16:18

ndiayette a écrit:Si on a le polynome x^7-4x^6+2x^4-22x^3+8x-6 en utilisant le critère d'Eisenstein on montre qu'il est irréductible dans Q[X] puis comme c(P)=1 alors il est irréductible dans Z[X] non?

Oui c'est bon (enfin j'ai pas verifie Eisenstein mais le raisonnement est bon).

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