Polynome irréductible

par **franky4doigts** » 06 Juin 2008, 20:17

Bjour, j'aurais besoin d'aide pour l'exo suivant:
Soit a1...an n entiers distincts
monter que le polynome (X-a1)(X-a2)..(X-an)-1 est irréductible dans Q

par **leon1789** » 06 Juin 2008, 21:50

L'irréductibilité peut se démontrer sur Z (puisque le polynôme est unitaire à coefs entiers).

Maintenant écrivons une factorisation du polynôme

en PQ où P et Q sont des polynômes unitaires à coeffs dans Z. Montrons alors que P ou Q est forcément constant (...et le résultat sera acquis).

Pour tout i, on a

. Mais nous travaillons sur Z, si bien que

.

Ainsi le polynôme

s'annule en

. Or

puisque P et Q sont unitaires. Donc

. Ainsi

ce qui force

ou

.

Remarque : le résultat est faux avec

.

par **leon1789** » 06 Juin 2008, 22:33

Avec ce lemme, tu veux montrer que le polynôme n'a pas de racine dans Q ?

par **franky4doigts** » 07 Juin 2008, 22:28

Tu sais comment on peut passer de Z à Q?

par **yos** » 07 Juin 2008, 23:44

Si ton polynôme F est réductible sur Q, tu as F=PQ, avec P et Q à coefs rationnels. En multipliant par un entier n>0 convenable on obtient

, avec

et

à coefs entiers. On peut supposer n minimal de sorte que les coefs de

soient premiers entre eux et pareil pour

. Mais il y a un lemme de Gauss sur le "contenu" d'un polynôme (PGCD de ses coefs) qui dit que

. D'où n=1 et donc P et Q sont à coefs entiers.

par **ThSQ** » 08 Juin 2008, 10:18

leon1789 a écrit:le résultat est faux avec .

Oui et non.

Si n est impair c'est vrai :zen:

par **leon1789** » 08 Juin 2008, 18:36

ThSQ a écrit:Oui et non.
Si n est impair c'est vrai :zen:

exact :happy2:

Polynome irréductible

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