Questions de topologie

[lanapurna16]

bonjour actuellement je révise la topologie pour mes exam et j'ai plusieurs question sur mon cours

je n'arrive pas a savoir concrètement ce qu'est l'intérieur de A ni l'adhérence ( je connais ma définition mais je ne la comprend pas ) vous pourriez m'expliquer simplement svp ?
ensuite je voudrais savoir dans mes définition des fois on dit l'espace métrique E,d et des fois l'espace métrique E . qu'est ce qui change ?
quelle est la différence entre une boule ouverte et un ouvert ?
et enfin comment représente t'on un voisinage ?

cette matière est très abstraite pour moi c'est pour ca que si vous pouvez m'expliquer de facon assez concrète avec des exemple ca serait super.
je vous remercie d'avance

[Skullkid]

Salut, pour l'intérieur et l'adhérence, il n'y a pas grand-chose à dire de plus que les définitions : l'intérieur de A c'est le plus grand ouvert inclus dans A, et l'adhérence de A c'est le plus petit fermé qui contient A. Un ouvert est évidemment égal à son intérieur, et un fermé est égal à son adhérence. Un peu plus intuitivement, si A est quelconque, l'intérieur de A c'est A privé de tous les points qui sont au bord, et l'adhérence de A c'est A auquel on rajoute des points pour avoir un bord.

Qu'on précise (E,d) ou pas ne change rien. En toute rigueur on devrait tout le temps préciser (E,d) (puisque E n'est qu'un ensemble, c'est d qui lui apporte une structure topologique) mais en général il n'y a pas d'ambiguïté possible : la distance s'appelle forcément d. Si un jour tu dois considérer deux espaces métriques différents munis de distances différentes, il faut distinguer les deux structures, par exemple en appelant tes espaces (E,d) et (F,d').

Un ouvert c'est une partie qui n'a pas de bord, alors qu'une boule ouverte c'est un type très particulier d'ouvert (dans R, une boule ouverte est un intervalle ouvert, dans R², c'est un disque privé du cercle qui est au bord, dans R^3, c'est une boule privée de la sphère qui est au bord, etc). Par exemple, la réunion de deux boules ouvertes disjointes est un ouvert, mais ce n'est pas une boule ouverte.

Un voisinage de x, c'est une partie qui contient tous les points qui sont "à côté" de x. Autrement dit, si je me place sur x, je peux faire un pas dans n'importe quelle direction sans jamais sortir du voisinage. Tu remarqueras la ressemblance avec la description qui t'a été faite d'un ouvert. La différence c'est que pour un voisinage de x, on s'intéresse juste à ce qui se passe autour de x, le reste n'importe pas.

Par exemple, dans R, A = [-1,1] U ]2,3] est un voisinage de 0, puisqu'il contient une boule ouverte (intervalle ouvert) centré en 0. Mais A n'est pas un voisinage de 3, puisque si je me place sur 3 et que je fais un pas dans le sens des réels croissants, je sors immédiatement de A. Pour cette même raison, A n'est pas un ouvert. Mais A n'est pas un fermé non plus, puisqu'il n'a pas de bord autour de 2. L'intérieur de A est ]-1,1[ U ]2,3[ (on enlève tous les points au bord), et l'adhérence de A est [-1,1] U [2,3] (on rajoute des bords là où il en manque).

Essaye aussi de faire des dessins dans R² pour te familiariser avec ces notions.

[lanapurna16]

super explication merci beaucoup j'ai juste une question :
quand tu dis "puisqu'il contient une boule ouverte (intervalle ouvert) centré en 0" c'est pas plutot une boule fermée centrée en 0 car tu as donné l'exemple de l'intervalle [-1,1] ?

[Skullkid]

A contient aussi une (et même une infinité) de boules fermées centrées en 0, mais le souci c'est que ça ne suffit pas : {0} est une boule fermée centrée en 0, mais ce n'est pas un voisinage de 0 pour la topologie métrique usuelle de R. En revanche, tu peux dire que A contient une boule fermée de rayon non nul centrée en 0, et là c'est complètement équivalent à dire que A contient une boule ouverte centrée 0.