Questions simples de topologie...

[Lostounet]

Hello,

Je débute en topologie !
Quelqu'un pourrait-il m'aider à faire quelques exercices?

Exo 1:
On munit X = C([0; 1], R) de la norme infinie (espace des fonctions continues de [0;1] dans R).
L'objectif est de montrer que X n'est pas compact.

On me demande de montrer qu'il n'est pas borné et d'en déduire qu'il n'est pas compact.

En prenant la contraposé de borné, il faudrait qu'il existe une fonction continue de [0,1] dans R telle que sup |f(t)| ne soit pas majoré par un réel M... Mais je ne trouve pas une telle fonction :hum:

Merci

[MouLou]

Non ce n'est pas ce que tu dois montrer. Si ton espace était borné, alors il existerait M>0 tel que pour tout ,.

En gros: Toutes les fonctions de C([0; 1], R) sont évidemment bornées, mais peux tu vraiment controler leur norme? la fonction ?

[Lostounet]

Hello MouLou,

Justement je crois que j'ai confondu car pour moi une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes...si je comprends bien.

Ta fonction va devenir de plus en plus grosse en norme pour 0et pour x = 0 ce sera la fonction nulle...

[mathelot]

1,x,x^2,x^3... sont R linéairement indépendantes.

donc l'e.v n'est pas de dimension finie donc il n'est pas compact.

[Lostounet]

1,x,x^2,x^3... sont R linéairement indépendantes.

donc l'e.v n'est pas de dimension finie donc il n'est pas compact.

:triste: Salut
Je ne comprends pas bien comment tu montres que l'espace X n'est pas borné.

[MouLou]

Oui, ne confond pas une fonction bornée, et une partie bornée. Quand on parle d'un espace de fonction la confusion est très vite arrivée.

Est-ce plus clair?

Mathelot s'il débute en topologie cela m'étonnerait qu'il connaisse le thérorème de Riesz

[Lostounet]

En gros, quelle que soit la fonction f continue sur [0;1], il y aura un M pour chacune telle que sup |f(t)|<= M
Mais ce M n'est pas le même pour f et g (une autre fonction)?

Donc en prenant une suite (fn) de fonction de X, par exemple fn = nx, on montre par exemple que pour 1 > x >0 |fn| --> +oo
ceci prouve que l'espace X n'est pas borné ?

Ou bien j'ai rien compris ? :D

[MouLou]

C'est l'idée mais ce n'est pas tout à fait comme ca qu'il faut le dire. il faut raisonner sur la norme de f_{n}
(f_{n}(x)=nx), et pas ponctuellement. Sinon c'est ça oui.

quelle est sa norme? conclusion: peux on controlelr la norme des fonctions continues sur [0,1]?

[Lostounet]

Si je prends la suite (f_{n}(x) = nx), pour tout n,
sup (|nx|) = n sup(|x|) = n (car x dans 0;1)
n'est pas "majoré" non? cette quantité peut devenir aussi grande qu'on veut.

Donc je ne peux pas contrôler la norme des fonctions continues sur [0;1]

[MouLou]

Donc pour en revenir a ton énoncé?

[Lostounet]

J'en déduis que l'ensemble X a une partie non bornée donc qu'il n'est pas borné.

Maintenant il faut que j'en déduise que X non compact. Dommage que je ne puisse pas utiliser le théorème de Borel-Lebesgue valable en dimension finie...

[MouLou]

Quelle définition as tu de compact?Dans le cas d'un espace vectoriel normé (ou meme un espace métrique) N'y a t'il pas 2 conditions nécéssaires très simples pour la compacité? Chose qu'on voit en général juste apres la définition d'un compact.

Par exemple une suite non bornée peut elle avoir une valeur d'adhérence?

Ps:Borel-lebesgue est vrai partout, c'est meme la définition d'un compact en topologie générale

[Lostounet]

X est compact lorsque de toute suite de X je peux extraire une suite convergente...
Edit: Non une suite non bornée, j'ai pas l'impression qu'elle puisse admettre une valeur d'adhérence.

Ah bon je croyais que fermé ET borné était équivalent à compact en dimension finie uniquement...

[MouLou]

Oui effectivement! Mais ce n'est pas Borel Lebesgue ca!

En dimension infinie, Compact implique fermé borné, mais c'est la réciproque qui est fausse.

Donc qouiqu'il arrive un compact doit etre fermé borné (dasn un espace metrique)

[Lostounet]

D'accord donc vu qu'il est nécessaire qu'il soit fermé et borné et que c'est pas borné ici... on peut dire qu'il est pas compact?

Le problème c'est que je n'ai pas l'impression de toucher le fond du truc, j'ai l'impression d'appliquer des définitions que je ne maitrise pas.
Donc si on voulait faire un peu plus manuellement, je reprends la suite (fn) et je dis que vu que cette suite diverge je peux pas extraire une sous-suite convergente ? (Bolzano Weirstrass)?

[MouLou]

Hm je vois. Oui c'est juste pour la sous suite extraite.

En fait les compacts c'est sympa. C'est juste des trucs qui sont "trop petits" pour qu'une suite ait assez de place pour s'y mettre: ya des termes qui vont se retrouver sérrés comme des sardines.

Donc deja ca te dit bien que ton truc doit etre borné (sinon tas evidemment toute la place que tu veux).

Fermé c'est une autre chose: t'imposes que la valeur d'adhérence soit dans l'ensemble.

En dimension finie, fermé borné ca suffit car si t'es bloqué dans une boite, avec un nombre fini de direction, y'a un moment ou t'auras fait le tour des directions et ca va s'entasser.
Par contre en dimension infinie, tu peux partir dans un nombre infini de direction et même en devant rester "proche" les uns des autres, ils seront quand meme "loin"

[Lostounet]

Merci c'est génial comme analogie j'y penserai souvent pour ne pas oublier!


Il y a la question 2:
Soit f0 la fonction nulle. Montrer que la boule unité fermée centrée en f0 est égale à la partie Y = C([0;1],[-1,1]) de X.

Cette question se veut un pré-requis à la démo de fermé borné n'est pas compact.
J'ai l'impression que c'est trivial comme question :ptdr: est-ce un piège?

Je prouve X inter Bf = Y

Soit f une fonction de X inter Bf, alors f appartient à X donc continue sur [0; 1] dans R et f appartient à Bf, donc |f0 - f| < 1, donc |f| < 1
Cela montre bien l'inclusion directe et la réciproque me semble immédiate..

Au passage question qui n'a rien à voir, si je prends O un ouvert, qu'est-ce qui me garantit qu'il peut s'écrire comme réunion O1 U O2 d'ouverts? (Je sais que la réunion d'ouverts est un ouvert mais la réciproque..?)

[Lostounet]

Autre question: Est-ce que X est fermé ?

[MouLou]

Comprends pas ta quesiotn sur l'union. tu peux écrire O=O union O et c'est plié :).

pour X fermé. Tu prends une suite f_{n} de X (donc continue) qui converge uniformément vers f. Est ce que f est dans X?

[Lostounet]

J'ai pas l'impression:
Soit fn = x^n
(fn) ne va pas converger vers une fonction continue...(selon que x<1 et x = 1).

Mais du coup si X est non fermé, X inter Boule fermé est bien fermé non ? :ptdr: Ou pas..