Questions bêtes en topologie (oui, encore)

[Anonyme]

Bonjour,

A l'heure des derniers ajustements des révisions, j'attaque la topologie.
Choix logique puisque ses lois et ses concepts m'echappent toujours trop
vite. J'allais poster ici hier soir mais un coup de google groups m'a
sauvé la mise, malgré tout j'ai encore deux trois petits trucs (niveau
Deug) qui me gènent, car toute idée qui germe chez moi est broyée par mon
manque de confiance :

- Un sous ensemble d'un espace topo. est toujours ouvert ou fermé.
J'aimerais répondre NON mais l'ennui c'est que je n'en suis sûr qu'en cas
de *parties* de cet E.V. Y a-t-il un ennui à étendre mon idée (topologie
grossière amenant E et ensemble vide ouverts ET fermés) à un sous espace
?

- Si A & B ouverts denses dans E, alors A (inter) B dense dans E.
Mon idée tourne autour de adherence de A (inter) B dense dans A et dense
dans B, donc dans E. Est-ce une fausse évidence ?

Merci de m'éclairer, j'avoue que ce NG m'a déja diablement aidé mais
certains concepts restent dangeureux tels des champs de mines pour moi.
--
Greeny
Nyo !

[Anonyme]

Greeny wrote:
> Bonjour,
>
> A l'heure des derniers ajustements des révisions, j'attaque la
> topologie. Choix logique puisque ses lois et ses concepts m'echappent
> toujours trop vite. J'allais poster ici hier soir mais un coup de
> google groups m'a sauvé la mise, malgré tout j'ai encore deux trois
> petits trucs (niveau Deug) qui me gènent, car toute idée qui germe
> chez moi est broyée par mon manque de confiance :
>
> - Un sous ensemble d'un espace topo. est toujours ouvert ou fermé.
> J'aimerais répondre NON

Tu as raison. Par exemple ]0,1] n'est ni ouvert, ni fermé dans IR muni de la
topologie usuelle.

> mais l'ennui c'est que je n'en suis sûr qu'en
> cas de *parties* de cet E.V. Y a-t-il un ennui à étendre mon idée
> (topologie grossière amenant E et ensemble vide ouverts ET fermés) à
> un sous espace ?

Il me semble qu'un sous-espace de dimension finie est toujours fermé. Pour
les dimensions infinies, je ne saurais le dire.

> - Si A & B ouverts denses dans E, alors A (inter) B dense dans E.
> Mon idée tourne autour de adherence de A (inter) B dense dans A et
> dense dans B, donc dans E. Est-ce une fausse évidence ?

Ca découle du théorème de Baire, mais il faut que l'espace soit complet me
semble-t-il.

> Merci de m'éclairer, j'avoue que ce NG m'a déja diablement aidé mais
> certains concepts restent dangeureux tels des champs de mines pour
> moi.

C'est assez piégeux, en effet. C'est pourquoi je ne fais qu'indiquer des
choses qui me semblent justes, ça fait bien longtemps que j'ai pas plongé
les mains dans le camboui ^^

--
Romain Mouton
« A la guerre il est important de savoir reconnaître l'ennemi. Car,
sans ennemi, la guerre est ridicule. » P.Desproges

[Anonyme]

In article ,
Greeny wrote:

> - Un sous ensemble d'un espace topo. est toujours ouvert ou fermé.
> J'aimerais répondre NON mais l'ennui c'est que je n'en suis sûr qu'en cas
> de *parties* de cet E.V. Y a-t-il un ennui à étendre mon idée (topologie
> grossière amenant E et ensemble vide ouverts ET fermés) à un sous espace
> ?

Il n'y a pas de différence entre partie et sous-ensemble d'un ensemble.
Je ne comprends pas l'idée que tu évoques.
Un EV et un ET sont deux objets différents.
Un contre-exemple simple à ta question est [0; 1[ dans R.

> - Si A & B ouverts denses dans E, alors A (inter) B dense dans E.
> Mon idée tourne autour de adherence de A (inter) B dense dans A et dense
> dans B, donc dans E. Est-ce une fausse évidence ?

[Remarque : "X dense" équivaut à "adhérence(X) dense".]
Il n'y a pas besoin de "dense dans A ET dense dans B", l'un ou l'autre
suffit.

On a effectivement
"A dense dans E" entraîne "(A inter O) dense dans un ouvert O de E"
entraîne (A inter B) dense dans A, qui est dense dans E,
d'où (A inter B) dense dans E.

Attention,
en général, c'est faux si l'on prend une intersection infinie
dénombrable d'ouverts denses.
(mais c'est vrai dans les espaces métriques complets, par exemple)

Camille

[Anonyme]

Camille wrote:

> On a effectivement
> "A dense dans E" entraîne "(A inter O) dense dans un ouvert O de E"
> entraîne (A inter B) dense dans A, qui est dense dans E,
> d'où (A inter B) dense dans E.
>
> Attention,
> en général, c'est faux si l'on prend une intersection infinie
> dénombrable d'ouverts denses.
> (mais c'est vrai dans les espaces métriques complets, par exemple)

J'ai donc dit une ânerie, puisqu'on a besoin de la complétude que dans le
cas d'un ensemble dénombrable d'ouverts denses ... Merci de cette précision
!

--
Romain Mouton
« A la guerre il est important de savoir reconnaître l'ennemi. Car,
sans ennemi, la guerre est ridicule. » P.Desproges

[Anonyme]

Camille a écrit :
[color=green]
>> - Un sous ensemble d'un espace topo. est toujours ouvert ou fermé.
>> J'aimerais répondre NON mais l'ennui c'est que je n'en suis sûr qu'en
>> cas de *parties* de cet E.V. Y a-t-il un ennui à étendre mon idée
>> (topologie grossière amenant E et ensemble vide ouverts ET fermés) à
>> un sous espace ?
>
> Il n'y a pas de différence entre partie et sous-ensemble d'un
> ensemble. Je ne comprends pas l'idée que tu évoques.
> Un EV et un ET sont deux objets différents.[/color]

Disons que je me suis mal exprimé. Mon idée pour prouver qu'un espace
topologique n'est pas simplement ouvert ou fermé est de prendre un espace
E et une topo grossière. On a alors simultanement E et l'espace vide
ouverts et fermés. C'est l'empressement ainsi que le fait de vouloir
emphaser "ouvert *et* fermé" qui m'a fait écrire "et" en majuscule, sans
remarquer qu'on pouvait lire "espace topo".
En tout cas, on ne m'avait pas précisé que sous espace = partie. C'est
bête à dire, mais en examen voila quelque chose de déroutant !

> Un contre-exemple simple à ta question est [0; 1[ dans R.
A voir ton exemple et celui de Romain, je me dis que j'étais vraiment
crétin à ne pas pouvoir me donner d'exemple d'espace ni ouvert ni fermé !

Merci pour ces précisions ! Je peux donc avancer plus sereinement,
maintenant que les "petits" pièges de définitions s'estompent au fur et à
mesure de la lecture de ce NG (qu'on devrait definitivement conseiller à
tout étudiant !)

--
Greeny
Nyo !

[Anonyme]

Greeny wrote:

> Disons que je me suis mal exprimé. Mon idée pour prouver qu'un espace
> topologique n'est pas simplement ouvert ou fermé est de prendre un espace
> E et une topo grossière. On a alors simultanement E et l'espace vide
> ouverts et fermés.

Euh, pour n'importe quelle topologie, l'espace entier est toujours
ouvert (par définition) et fermé (complémentaire de l'ouvert vide).

Donc la question « Un sous-espace est-il toujours ouvert et fermé » peut
se comprendre de deux manières : est-ce qu'il est ouvert et fermé en
tant qu'espace topologique (et la réponse est alors oui) ou bien est-ce
qu'il est ouvert et fermé comme partie de l'espace plus gros (et là,
c'est non, comme ça a déjà été dit).

> En tout cas, on ne m'avait pas précisé que sous espace = partie. C'est
> bête à dire, mais en examen voila quelque chose de déroutant !

Disons que l'on ne parle pas forcément exactement du même objet dans les
deux cas. Un sous-espace A d'un espace topologique E, c'est une partie
de E, munie de la structure topologique induite (les ouverts de A sont
les intersections de A et des ouverts de E) et de l'injection naturelle
i: A->E. Dans l'histoire, dire que A est une partie ouverte (resp.
fermée) de E revient à dire que l'injection i est ouverte (resp.
fermée).

--
M. Tibouchi
> Fra. Fairest Cordelia, that art most rich, being poore,
> Most choise, forsaken; and most lou'd, despis'd,
> Thee and thy vertues here I seize vpon. King Lear I, 1.