Encore moi, encore une suite

[Yozamu]

Bonjour / Rebonjour.

Vraiment, c'est horrible de bloquer sur une suite de niveau terminale. Pour la troisieme fois en plus!

Mais celle là a l'air vraiment plus dure... Ou c'est juste une impression.

L'expression est:

Un= (k allant de 1 à n) 1/(sqrt(n²+k))

Et voilà, je suis bloqué là, au début...

[Luc]

Salut,

1- quelle est la question?
2- as-tu vu les sommes de Riemann en cours?
3- Ce n'est pas vraiment une suite de niveau terminale, plutôt L1-L2.

[Yozamu]

Ma question ? Je sais pas trop. En fait je n'ai aucune idée de comment "démarrer" le calcul!
Ensuite, non, je n'ai pas vu les sommes de Riemann!

[Nightmare]

Salut,

On s'en sort par un encadrement terme à terme :

Pour tout k inférieur à n, V(n²+1) < V(n²+k) < V(n²+n)

Donc la suite est bornée par n/V(n²+n) et n/V(n²+1) qui convergent vers 1.

[Yozamu]

Salut Nightmare.

Pour commencer, c'est bien des égalités et non des égalités strictes, c'est ça ?

Ensuite, pourquoi la suite est elle bornée par n/V(n²+n) et n/V(n²+1) et pas 1/V(n²+n) et 1/V(n²+1) ?

En plus je comprends pas vraiment, parce que si k avait une valeur unique, je comprendrais qu'on parle de suite bornée (particulièrement vers 1/V(n²+n)) mais là, comment peut on etre sur que la suite l'est ? Puisque k n'a pas une valeur fixe

[Luc]

Ma question ? Je sais pas trop. En fait je n'ai aucune idée de comment "démarrer" le calcul!
Ensuite, non, je n'ai pas vu les sommes de Riemann!

1 - Quelle est la question que pose l'énoncé sur cette suite?
2 - Il s'agit en fait d'une série.
3 - En fait, pas besoin dans ce cas de connaître les sommes de Riemann. Il suffit d'encadrer le terme général (ce qu'a fait Nightmare) de façon UNIFORME en k pour en déduire un encadrement de la série par deux suites qui convergent vers 1. On conclut par le théorème d'encadrement.

[Yozamu]

La question est de calculer la limite de cette suite en +inf !

Et je n'ai pas trop compris comme je l'explique dans mon post précédent la démarche

[Luc]

La question est de calculer la limite de cette suite en +inf !

Pourquoi cette limite existerait-elle? As-tu démontré son existence? Est-ce que toute suite converge?

[Yozamu]

Oui, c'est vrai, elle n'existe pas forcément!
Mais je n'en sais rien pour celle là à vrai dire!

Toute suite ne converge pas

[barbu23]

Bonsoir à tous, :happy3:
Voici en détail une autre méthode :
http://c.caignaert.free.fr/chapitre7/node1.html#SECTION00013000000000000000

[Yozamu]

Ah, en fait j'ai déjà brièvement vu les sommes de Riemann, mais on ne m'avait pas donné le nom.
Mais le fait est que je ne trouve pas de moyen d'avoir k/n sans avoir de termes n restants dans l'expression...

[Luc]

Ah, en fait j'ai déjà brièvement vu les sommes de Riemann, mais on ne m'avait pas donné le nom.
Mais le fait est que je ne trouve pas de moyen d'avoir k/n sans avoir de termes n restants dans l'expression...

Je reposte ce que j'ai écrit :

En fait, pas besoin dans ce cas de connaître les sommes de Riemann, elles n'interviennent pas ici. Il suffit d'encadrer le terme général (ce qu'a fait Nightmare) de façon UNIFORME en k pour en déduire un encadrement de la série par deux suites qui convergent vers 1. On conclut par le théorème d'encadrement.

[Yozamu]

Pas besoin ou pas possible ?

Parce que si c'est impossible ok, mais si c'est possible, j'y arrive pas!

Et je redis donc ce que j'avais répondu:

Pourquoi la suite est elle bornée par n/V(n²+n) et n/V(n²+1) et pas 1/V(n²+n) et 1/V(n²+1) ?

En plus je comprends pas vraiment, parce que si k avait une valeur unique, je comprendrais qu'on parle de suite bornée (particulièrement par 1/V(n²+n)) mais là, comment peut on etre sur que la suite l'est ? Puisque k n'a pas une valeur fixe

[Luc]

Pourquoi la suite est elle bornée par n/V(n²+n) et n/V(n²+1) et pas 1/V(n²+n) et 1/V(n²+1) ?

En plus je comprends pas vraiment, parce que si k avait une valeur unique, je comprendrais qu'on parle de suite bornée (particulièrement par 1/V(n²+n)) mais là, comment peut on etre sur que la suite l'est ? Puisque k n'a pas une valeur fixe

Exactement, k n'a pas de valeur fixe, c'est pour ça que l'on parle d'encadrement UNIFORME en k, car les suites par lesquelles on encadre ne dépendent pas de k.

Pour tout 1<=k<=n, on encadre le terme général de la somme entre 1/V(n²+n) et 1/V(n²+1). On obtient ainsi n encadrements, que l'on additionne pour finalement encadrer la somme par n/V(n²+n) et n/V(n²+1). C'est de là que provient le facteur n.

[Yozamu]

Je n'arrive pas à comprendre le passage de 1/V(n²+n) et 1/V(n²+1) à n/V(n²+n) et n/V(n²+1). J'ai bien compris compris qu'on ne pouvait pas laisser 1/V(n²+n) et 1/V(n²+1), mais je ne parviens pas à voir comment et pourquoi on met un facteur n

[Nightmare]

Si chaque terme est supérieur à 1/V(n²+n), alors la somme de n termes est supérieure à 1/V(n²+n)+1/V(n²+n)+...+1/V(n²+n), le tout n fois. Donc la somme est supérieure à n * 1/V(n²+n), c'est à dire n/V(n²+n)

[Yozamu]

J'ai à peu près compris me semble-t-il!

Ce que tu dis ne s'applique pas "exactement" à ce cas donc?

"Si chaque terme est supérieur à 1/V(n²+n), alors la somme de n termes est supérieure à 1/V(n²+n)+1/V(n²+n)+...+1/V(n²+n), le tout n fois. Donc la somme est supérieure à n * 1/V(n²+n), c'est à dire n/V(n²+n)"

Ici, chaque terme est inférieur à 1/V(n²+n) et chaque terme est supérieur à 1/V(n²+1), donc il suffit de remplacer ce que tu as dit pour ce cas là ? ça donnerait:

"Si chaque terme est supérieur à 1/V(n²+1), alors la somme de n termes est supérieure à 1/V(n²+1)+1/V(n²+1)+...+1/V(n²+1), le tout n fois. Donc la somme est supérieure à n * 1/V(n²+1), c'est à dire n/V(n²+1)"

Puis ensuite en deuxième partie:

"Si chaque terme est inférieur à 1/V(n²+n), alors la somme de n termes est inférieure à 1/V(n²+n)+1/V(n²+n)+...+1/V(n²+n), le tout n fois. Donc la somme est inférieure à n * 1/V(n²+n), c'est à dire n/V(n²+n)"

Si c'est bon, je pense que j'ai compris...
Sinon... Il faudra me réexpliquer!

[Yozamu]

Oups, je viens de commencer la rédaction, et dans mon raisonnement j'avais oublié de faire l'inverse et de changer le sens des inégalités!

Donc ce que tu disais est juste, j'ai compris.

Merci beaucoup!