Questions d'analyse (en vrac)

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Lostounet
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Questions d'analyse (en vrac)

par Lostounet » 12 Oct 2017, 00:49

Bonjour,

J'ai quelques doutes/oublis sur certaines choses en analyse réelle...

1) Nous savons que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone est dénombrable. Que dire de l'ensemble des points de non dérivabilité?

2) Prenons (fn) est une suite de fonctions convergeant uniformément vers f sur [0;1].
Quand peut-on écrire:
(Q ou un autre ensemble dense)

3) Soit C un convexe. Que peut-on dire de son intérieur? Sa frontière? Dans un cadre le plus général possible...

4) La fonction pathologique de Weierstrass continue mais nulle part dérivable est-elle dérivable sur un ensemble négligeable ou..? (je ne sais pas si cette question a un sens car pour être dérivable c'est sur un voisinage etc..)



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Ben314
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Re: Questions d'analyse (en vrac)

par Ben314 » 12 Oct 2017, 07:56

Salut,
Pour le 1), l'escalier du diable te montre qu'une fonction croissante et continue peut avoir un ensemble de "non dérivabilité" non dénombrable.
Je sais pas si on peut dire quelque chose sur cet ensemble de "non dérivabilité" (de mesure nulle ?), surtout si on suppose uniquement la fonction monotone (mais pas forcément continue) : à voir...

2) Si les fn sont continues (donc f aussi), évidement que c'est vrai. Et si les fn ne le sont pas, évidement que c'est faux.

3) Je sais pas trop ce que tu attend comme réponse : l'intérieur d'un convexe est convexe (assez évident), mais peut évidement être vide : il suffit de regarder un convexe "classique" de R^2 comme étant en fait une partie de R^3 pour que d'un seul coup son intérieur devienne vide (la notion d'intérieur est évidement relative à l'espace ambiant dans lequel on travaille). Et évidement, si tu part d'un convexe fermé "classique" de R^2, ben vu comme une partie de R^3, sa frontière, c'est lui même.
Pour éviter ces cas là (où ton convexe est contenu dans un s.e.a. strict de l'espace), on précise souvent qu'on part justement d'un convexe d'intérieur non vide de E. Et dans ce cas, il doit effectivement y avoir des choses à dire par exemple sur sa frontière.
Question : Pour un convexe de R^n, y-a-t-il équivalence entre "d'intérieur vide" et "contenu dans un s.e.a. strict" ?
et sinon, comme toujours, il faut se méfier si on considère les cas des e.v.n. de dim infini : ils peuvent posséder des s.e.v. stricts (donc des convexes) qui sont denses...

4) Je comprend pas la question.
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Lostounet
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Re: Questions d'analyse (en vrac)

par Lostounet » 12 Oct 2017, 16:44

Merci beaucoup pour ta réponse.

L'escalier du diable est un exemple à avoir en tête...mais pourquoi ils disent que la fonction est dérivable presque partout?

Concernant la question de l'équivalence... je ne vois pas pourquoi l'équivalence ne marcherait pas. Je vais réfléchir.

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Ben314
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Re: Questions d'analyse (en vrac)

par Ben314 » 12 Oct 2017, 23:07

Lostounet a écrit:mais pourquoi ils disent que la fonction est dérivable presque partout ?
ben... parce qu'elle l'est...
L'ensemble de Cantor K est fermé. Son complémentaire est ouvert, donc réunion d'intervalles ouverts (réunion au plus dénombrable, mais ici on s'en fout). Or, par construction même, la fonction f est constante sur chacun des intervalle ouverts qui constitue [0,1]\K et ça prouve bien évidement que f est dérivable sur l'intervalle ouvert en question et même que sa dérivée y est est nulle.
Donc f est dérivable (et de dérivée nulle) sur [0,1]\K qui est un ensemble de mesure 1 (car K est négligeable).
E c'est bien ça la définition de "f est dérivable presque partout".

Lostounet a écrit:Concernant la question de l'équivalence... je ne vois pas pourquoi l'équivalence ne marcherait pas. Je vais réfléchir.
Oui, en dimension finie, il y a bien équivalence et ce n'est pas bien sorcier à établir.
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Lostounet
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Re: Questions d'analyse (en vrac)

par Lostounet » 14 Oct 2017, 14:42

Merci Ben c'est extrêmement clair

 

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