Algèbre - Questions en vrac

[Lostounet]

Bonjour,

Je souhaiterais quelques renseignements ou aides concernant une voire toutes les questions suivantes:

1) Pourquoi dans la preuve suivante que le radical d'un idéal est un idéal, est-ce qu'on développe plutot que ?
http://antoinejacono.com/pub/Maths_file ... 1duits.pdf
(début page 2) Pourquoi le -1 je veux dire?

2) Je dois prouver que les deux anneaux et ne sont pas intégralement clos... Je vois pas trop quoi prendre (il me semble que c'est pas aussi simple que prendre X^2 + 5)...Il faut passer par le corps des fractions de chacun.

3) Pourquoi est-ce que dans A anneau intègre, l'existence de ppcm assure celle du pgcd?
Si on retire l'intégrité que se passe-t-il ?
Et s'il existe un pgcd, cela n'entraine donc pas forcément l'existence de ppcm?

Merci de votre aide

[Ben314]

Salut Lostounet,

1) Simplement parce que, si on veut pouvoir déduire de a+b=??? qu'on a forcément a>=n ou b>=m, il suffit de prendre ???=n+m-1 et comme on aime bien faire au mini, on prend ça.
Mais évidement toute valeur de ??? supérieur ou égal à n+m-1 (donc par exemple ???=n+m) conviendrait.

2) Si , c'est quoi les racines de ?
Si , c'est quoi les racines de ?

3) Dans le cas d'un anneau quelconque, tu le défini comment le pgcd ? le ppcm ?

[Lostounet]

Salut Ben et merci

1) D'accord ! Je voulais juste vérifier car ma preuve utilise n+m qui sont chacun dans N*.

2) Ah.. X^2 - T^2 a pour racines +T et -T qui sont pas dans A mais dans le corps de fractions (car T^3/T2 = T ?)
Les racines de X^2 + X + 1:

(-1-iV3)/2 et l'autre qui se trouvent donc dans le corps de fractions sans être dans l'anneau !


3) Peut-être en terme d'idéaux ? Soit a et b dans A
On peut voir que l'intersection (a) et (b) est égale à (m) avec m le ppcm ...?

Sachant que la question intervient dans le cadre d'un anneau intègre pour que j'utilise le fait que si ab=xy et que si a divise x alors y divise b.

[Ben314]

Pour le 3), je précise que c'est une "vraie question", dans le sens que je me rappelle plus de rien, sauf que, en fonction du "contexte", il y a plusieurs façon de définir le pgcd et le ppcm qui s'étendent plus ou moins bien à certaines classes d'anneaux.
Et comme j'ai la flemme d'aller retrouver les différentes définition et les avantages/inconvénients de chacune, je préfère attendre que toi tu choisisse la définition pour regarder ensuite ce qu'on peut faire avec.

[Lostounet]

Okay !

Voici par exemple une manière possible ((la plus simple...) dans le contexte des anneaux commutatifs unitaires A.

Soit a, b dans A. On dit que est un PGCD de a et b si:
1) d divise a et d divise b
2) Tout x de A divisant a et b divise d

On dit que p est un PPCM de a et b si
1) a divise p et b divise p
2) pour tout x de A tel que a divise x et b divise x alors p divise x

On me rappelle ensuite que si A est intègre. alors il est "évident" que si pgcd ou ppcm existe alors c'est à inversible près.


Donc on va supposer l'existence de cet élément p et déduire que d existe. Ces définitions te semblent les meilleures manières de faire?

[Ben314]

Si c'est la meilleure ou pas, j'en sais rien : ce qu'il y a de sûr, c'est que ca demande aucune propriété particulière de A.
L'autre truc de relativement clair, c'est que si l'anneau est pas intègre, ça va être dur de démontrer quoi que ce soit vu que, lorsque a divise b, on pourra pas parler de b/a vu qu'il n'y a plus unicité du k tel que b=ka.

Sinon, avec tes définition, je suis a peu près persuadé qu'il faut utiliser le fait que, dans les "cas favorables", on a pgcd(a,b)xppcm(a,b)=ab (à un inversible près évidement)
Regarde si, comme par hasard, lorsque l'on suppose qu'un ppcm p de a et b existe on en déduirait pas immédiatement que d=ab/p est un pgcd de a et de b.

EDIT : je viens de regarder et effectivement, ça marche très facilement.

[Lostounet]

Merci Ben. En effet, c'est simple: j'ai pu facilement vérifier les deux axiomes d'un pgcd.

Par contre s'il faut trouver un exemple d'un anneau tel que pour deux éléments il y ait un pgcd mais pas un ppcm...
J'ai essayé de voir pourquoi en prenant ab/d et regardant si c'est un ppcm... je ne vois pas pourquoi ça coince?

[Ben314]

Il me semble que ça coince de façon évidente :
- Si tu suppose qu'un ppcm existe, pour montrer que est un pgcd, tu part d'un qui divise à la fois et , tu pose et tu termine facilement en utilisant le fait que est à la fois multiple de et de .
- Si tu suppose qu'un pgcd existe, pour montrer que est un ppcm, tu part d'un qui est à la fois multiple de et de mais tu peut absolument pas poser vu qu'il n'y a aucune raison que divise .
Donc je vois pas comment tu peut continuer. Tu as écrit quoi toi ?

Sinon, concernant un contre exemple, dans , les éléments et possèdent un pgcd (égal à 1) mais pas de ppcm.

EDIT : je viens d'aller regarder sur Wiki sur lequel il y a le même exemple (faut dire que , c'est LE exemple de base).
Par contre, ce qu'il disent aussi, c'est que, si on suppose que tout couple (a,b) de (A\{0})² admet un pgcd, alors tout couple (a,b) admet un ppcm.
Cherche la preuve (ça doit de nouveau pas être sorcier : dans le début de preuve çi dessus, on doit surement utilise un pgcd de et de qu'on sait exister, et qui lui divise ).

EDIT 2 : effectivement, ça se fait de nouveau facilement.

[Lostounet]

Hello Ben je suis en train de lire ta petite démo, je pense que tu finis par prouver pi*delta = p*d. En ce qui concerne ce que j'ai écrit (pour ppcm implique pgcd), je suis plus trop certain...

Soit x dans A tel que x divise a et b
Il existe k dans A tel que k*x = a

Donc tel que ssi dm = x*kb
Mais m divise k*b car ppcm donc x divise d.

Est-ce que cela est correct?

[Ben314]

Je comprend pas grand chose. C'est un morceau de la preuve de quoi que tu as écrit ?

Vu le contexte des posts précédent, j'aurais pensé que c'était la preuve de
"Si et admettent un pgcd alors il admettent un ppcm"

Sauf que, dés la première ligne, je comprend pas ce que tu cherche a faire avec ton "Si x divise à la fois a et b alors...", et que je comprend pas non plus qui est le de la troisième ligne (donc évidement, je risque pas de comprendre pourquoi ce fameux est sensé diviser )

[Lostounet]

Excuse mon manque de clarté. Je reprends:

Lemme: si ab = xy et que a divise x alors y divise b (a, b, x et y sont quelconques dans A). Je m'appuie sur ce lemme

Soit m = ppcm(a;b)
Soit d = ab/m


Montrons que d est un pgcd de a et b

1) Montrons que d divise a et divise b: d*m = a*b mais m est ppcm de a et b donc:
a|m alors d|b
a|m donc d|a

Donc d divise a et b

2) Montrons que tout diviseur de a et b divise d
Soit x un diviseur de a et de b
Il existe k de A tel que k*x = a

Donc d*m = k*x*b
ssi dm = x*(kb)
Or m divise kb donc x divise d (lemme)

Finalement x divise d...

Donc d vérifie les deux choses qu'un pgcd doit vérifier non?

Edit: Je crois que j'ai utilisé la commutativité de l'anneau en plus qui n'est pas donnée dans l'hypothèse

[Ben314]

A mon sens,
- Il manque un truc au début pour justifier que m divise ab.
- Plus loin, je comprend pas pourquoi m divise kx.

Perso, j'aurais écrit :
Si le couple admet un ppcm alors :
1) et divisent tout les deux donc divise (définition d'un ppcm) et on peut poser : .
2) Comme divise on peut écrire ce qui prouve que divise . De même donc divise .
3) Si est un diviseur commun de et alors est un multiple commun de et donc un multiple de ce qui signifie que est un diviseur de et donc que est un diviseur de .
Conclusion : est un pgcd de .

[Lostounet]

A mon sens,
- Il manque un truc au début pour justifier que m divise ab.
- Plus loin, je comprend pas pourquoi m divise kx.

Perso, j'aurais écrit :
Si le couple admet un ppcm alors :
1) et divisent tout les deux donc divise (définition d'un ppcm) et on peut poser : .
2) Comme divise on peut écrire ce qui prouve que divise . De même donc divise .
3) Si est un diviseur commun de et alors est un multiple commun de et donc un multiple de ce qui signifie que est un diviseur de et donc que est un diviseur de .
Conclusion : est un pgcd de .

Merci bien !
En fait oui j'ai justifié pourquoi m divisait ab mais pour ta deuxième remarque j'ai surtout dit que m divise kb (qui est multiple de b).

Je vais noter et comprendre ta preuve qui me semble plus habile

[Ben314]

Il n'empêche que je vois toujours pas pourquoi m divise kb...
Et si l'anneau est pas commutatif, déjà, il faut préciser ce que l'on entend par "divise" (i.e divise à droite ? à gauche ? les deux ?)
Bref, a mon sens, la divisibilité, le cadre "standard" minimal, c'est les anneaux commutatif intègre :
- Commutatif pour qu'il n'y ait qu'une seule notion de "divise" et pas deux (à droite et à gauche)
- Intègre pour que, lorsque a divise b, on puisse parler du quotient b/a (il y a éventuellement plusieurs quotients si l'anneau n'est pas intègre)
On doit certes pouvoir faire des choses en non commutatif et non intègre, mais je sais pas s'il va rester grand chose comme résultats intéressants.

[Lostounet]

Il n'empêche que je vois toujours pas pourquoi m divise kb...
Et si l'anneau est pas commutatif, déjà, il faut préciser ce que l'on entend par "divise" (i.e divise à droite ? à gauche ? les deux ?)
Bref, a mon sens, la divisibilité, le cadre "standard" minimal, c'est les anneaux commutatif intègre :
- Commutatif pour qu'il n'y ait qu'une seule notion de "divise" et pas deux (à droite et à gauche)
- Intègre pour que, lorsque a divise b, on puisse parler du quotient b/a (il y a éventuellement plusieurs quotients si l'anneau n'est pas intègre)
On doit certes pouvoir faire des choses en non commutatif et non intègre, mais je sais pas s'il va rester grand chose comme résultats intéressants.

D'accord. Donc même si c'est pas mis en donnée, je vais quand même le supposer (déjà que je comprenne pour des cas simples commutatifs).

Il n'y a pas de raison que m divise kb ... Je crois que c'est faux

[Ben314]

Comme c'est pas archi super standardisé en Français (je sais pas si ça l'est plus dans les autres langues), dans un cours/poly/bouquin/chapitre qui parle d'anneau, on précise systématiquement au début que, dans le contexte du cours/poly/bouquin/chapitre, le terme anneau désignera (par exemple) systématiquement un anneau commutatif unitaire intègre (histoire de pas avoir à se refarcir toute l'écriture dans chaque théorème).

Donc quand tu ouvre un bouquin/poly. en plein milieu, ben faut faire gaffe et aller regarder la 1ère page pour savoir de quoi il retourne...

[Lostounet]

Merci Ben tu as raison... C'est le cadre précisé dans mon cours au tout début du bouquin.

Maintenant si a = 2
b = 1 - i√5

Je dois prouver que le pgcd vaut 1 et qu'il existe pas un ppcm.

Je ne me souviens plus de l'algorithme d'Euclide étendu (dans des anneaux bizarres comme ça car la notion de division euclidienne me semble un peu ...). Par contre on peut essayer de voir s'ils sont premiers (entre eux)? irréductibles...?

Par exemple si 2 = pq, alors soit p soit q est de norme 1... (car il y a pas d'éléments de norme 2).

Sinon il y a une question liée et que j'arrive pas non plus à démarrer (qui parle justement de ce que tu disais)

(i) A intègre
(ii) Tout élément de A possède une factorisation en irréductibles
(iii) Tout couple d'éléments de A admet un ppcm

Montrer que A est factoriel...

J'ai quelques idées au vu de nos observations...

[Ben314]

Dans , y'a pas de division euclidienne : il fait pas parti des quelques uns (5 ou 6 je sais plus) qui sont Euclidiens.
Donc il faut le faire plus ou moins "à la main" et, effectivement, c'est pas con d'utiliser la norme.

Si et alors et donc un diviseur commun de et doit avoir une norme qui divise 4 et 6 donc qui divise 2.
Et comme il n'existe aucun élément de norme 2 dans A, c'est que les seuls diviseurs communs sont les inversibles donc un pgcd de a et b est 1.

On sait que, si le couple (a,b) admettait un ppcm alors il aurait pour pgcd donc, si un tel ppcm existe, il vaut .
Sauf que est un multiple commun de et de et que ce n'est pas un multiple de vu que N(6)=36 n'est pas multiple de N(m)=24.

Concernant l'exo. consistant à montrer que A est factoriel, c'est quoi tes idées ?

[Lostounet]

'Merci beaucoup, c'est effectivement plus clair maintenant et plus intuitif.

En ce qui concerne ce qui précède... je vais essayer de tirer quelques conséquences... en vrac:

(iii) => Tout couple (a;b) admet un pgcd valant (a;b)/ppcm(a;b)

Un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre donc il nous faut au moins (i)

Il faut donc qu'on essaye de passer d'une décomposition en irréductibles à une décomposition en facteurs premiers (à inversibles près). Quel lien existerait-il entre deux telles décompositions? Un anneau avec pgcd nous permettrait-il d'appliquer le lemme de Gauss?

[Ben314]

Je comprend pas ce que tu raconte avec tes "facteurs irréductibles" et tes "facteurs premiers".

Pour moi, vu les hypothèses que l'on a, LE truc qui manque pour être factoriel (et c'est presque toujours là que le bâs blesse), c'est l'unicité de la décomposition (à inversible prés bien sûr)
Et montrer l'unicité de la décomposition, ça revient très précisément à démontrer que, si un irréductible divise un produit alors il divise l'un des deux (avec ça plus une récurrence triviale on montre l'unicité de la décomposition en irréductibles et réciproquement, l'unicité de la décomposition implique que si un irréductible apparait dans un produit, c'est qu'il est déjà dans un des termes du produit).

Bref, ce qu'il faut démontrer, c'est que l'existence de ppcm implique le lemme d'Euclide.