Algèbre - Questions en vrac

[Lostounet]

En fait dans Z[i√5], nous avons constaté 2*3=(1+i√5)(1-i√5) et que la décomposition de 6 il y en avait 2 (différentes).

Avant d'attaquer ce que tu suggères, je souhaiterais savoir (pour comprendre l'erreur dans mon intuition) si la notion de "décomposition en facteurs premiers" n'a pas de sens dans un anneau A ? Vu que premier implique irréductible?

Et désolé si je raconte des bêtises... je ne le fais pas exprès.

[Ben314]

Sauf erreur, dans la définition de "factoriel", c'est une décomposition (unique) en éléments irréductible qu'il faut avoir donc c'est ça qu'il faut montrer et pas autre chose !!!!
Ensuite, c'est vrai qu'au final, on s'en fout vu que de façon générale premier => irréductible et que, dans un anneau factoriel on a en fait premier <=> irréductible donc que dans ce cas décomposer en facteur premiers ou en facteur irréductible, c'est la même chose.

Dans les cas non factoriel, je sais pas trop ce que ça donne : très souvent c'est pas factoriel parce que la décomposition en irréductibles n'est pas unique, mais j'ai aucune idée de ce que ça donne si on cherche uniquement des décomposition en premiers.

[Lostounet]

Et montrer l'unicité de la décomposition, ça revient très précisément à démontrer que, si un irréductible divise un produit alors il divise l'un des deux (avec ça plus une récurrence triviale on montre l'unicité de la décomposition en irréductibles et réciproquement, l'unicité de la décomposition implique que si un irréductible apparait dans un produit, c'est qu'il est déjà dans un des termes du produit).

Bref, ce qu'il faut démontrer, c'est que l'existence de ppcm implique le lemme d'Euclide.

Autre chose qui est étrange: si on omet la condition (ii)... ben cela signifie que dans certains anneaux il y aurait bien des ppcm et des pgcd tel que ce ne soit quand même pas factoriel (car on a l'unicité sans l'existence??? Je vois pas du tout des anneaux comme ça...)

Bref, je me concentre sur le lemme d'Euclide
Soit x = ab une décomposition en produit d'irréductibles de x. Prenons p un diviseur irréductible de x.
Soit m un ppcm de a et b. p divise m.
Dois-je décomposer m aussi ?

[Ben314]

Déjà, je vois pas trop pourquoi tu part de ab = "une décomposition en irréductible". Lorsque tu va applique le truc pour montrer l'unicité d'une décomposition, des termes, il y en aura évidement plus de deux des irréductibles.
Par contre on peut se contenter de x=ab (sans supposer a et b irréductible) vu que lorsque l'on appliquer ça à une décomposition en irréductible, on prendra par exemple a=un des irréductible et b=les autres et on fera une récurrence.
Bref, ce qu'il faut démontrer, c'est exactement le lemme d'Euclide, ni plus.. ni moins... : si un irréductible divise un produit ab (où on ne suppose rien de particulier sur a et b) alors il divise l'un des deux.

De plus, vu que tu doit montrer que p divise a ou bien b, tu aurais intérêt (comme d'hab.) à rajouter dans les hypothèses que p ne divise pas a (par exemple).
Enfin, si tu réfléchi un peu (et avec l'hypothèse supplémentaire), il y a pas des tonne de façon d'utiliser le fait que "p est irréductible"...

[Lostounet]

Le but sera de prouver que p divise b.

Est-il vrai que pgcd(a;p)=1 ?

[Lostounet]

Bonjour Ben,

Faudrait-il que je raisonne en terme d'idéaux? Enfin je ne sais pas trop ce que je dois faire ou dans quelle direction aller...

Si je dois montrer que p divise b alors (b) doit être inclus dans (p).
Je sais que (a) inclus dans (p)
Et aussi que (ab) inclus dans (p)

Dans une question précédente j'ai observé que (a) inter(b) est égal à (m) avec m le ppcm... Je n'ai pas encore utilisé l'irréductibilité...

[Ben314]

Est-il vrai que pgcd(a;p)=1 ?

Oui, vu que (par définition), comme p est irréductible, ces seuls diviseurs sont les inversibles et les inversibles fois p.
Comme p ne divise pas a, les seuls diviseurs communs de p et a sont donc les inversibles ce qui signifie qu'un pgcd de a et p est 1.

Ensuite, je sais pas si c'est bien utile de parler d'idéaux :
Par hypothèse (qui est une hypothèse forte) tout couple d'éléments non nuls admet un ppcm donc (a,p) admet un ppcm et, vu qu'un pgcd est 1, c'est qu'un ppcm est ap (attention, si on avait pas l'hypothèse que le ppcm existe, on ne pourrait rien dire).
Et tu termine en disant que ab étant à la fois un multiple de p et de b, c'est que c'est un multiple de leur ppcm, c'est à dire de ap. Donc b est un multiple de p.

[Lostounet]

D'accord, donc on a bien pris pgcd de a et p. Par contre, cela montre bien l'unicité de la décomposition car... ?

On a montré que si x = ab, alors forcément on fait intervenir les diviseurs irréductibles (de b) dans la décomposition? Et on fait idem avec a? puis avec n facteurs?

(et l'intégrité + existence de la décomposition on s'en est donc servi qu'à la fin juste pour la définition de factoriel)

[Lostounet]

Et tu termine en disant que ab étant à la fois un multiple de p et de b, c'est que c'est un multiple de leur ppcm, c'est à dire de ap.

C'était pas ppcm(a;p) = ap ?

[Ben314]

Si : je me suis gouré entre a et b.
Donc ce qu'il faut lire c'est "...ab étant à la fois un multiple de p et de a, c'est que c'est un multiple de leur ppcm, c'est à dire de ap..."

[Ben314]

Sinon, après, c'est crétin : tu suppose que sont deux décomposition en produit d'irréductible, puis tu dit que divise donc il divise soit , soit mais dans ce cas, il divise soit , soit etc...
Donc en fait il divise l'un des et comme est lui aussi irréductible, c'est que à un facteur inversible près (les seuls diviseurs de sont les inversibles, mais n'en est pas un, et les inversible fois donc est un inversible fois )
Tu vire et de l'égalité et tu recommence avec (ou tu dit que tu fait une récurrence sur ce qui revient exactement au même)
A la fin, si était différent de , il te resterait un truc du style 1=produit d'irréductibles et c'est évidement pas possible vu que ça signifierais que tout les irréductibles en question sont inversibles (ce qui est faux par définition de "irréductible")

[Lostounet]

Merci beaucoup c'est bien clair maintenant!