Questions en vrac homologie

[Archytas]

Salut,
Dans mon cours il est écrit que le groupe fondamental du bouquet de deux cercles S v S est Z*Z (produit libre de Z avec lui même) alors que son groupe d'homologie est Z+Z (somme directe). Le fait qu'il n'y ait pas l'égalité de H1 avec le groupe fondamental vient du fait que Z*Z ne commute pas ?
Ensuite j'ai un exo dans lequel je dois construire un complexe cellulaire X tel que :





Je vois pas trop comment partir, à part que la première info indique que notre complexe doit être connexe et la deuxième que c'est un bouquet de deux espaces

[Ben314]

Pour un espace espace connexe par arcs, le premier groupe d'homologie est (isomorphe à) l'abélianisé du groupe fondamental.

Et même sans connaitre ce résultat, vu que, par construction, les groupes d'homologie sont commutatifs le premier groupe d'homologie ne risque pas d'être égal au groupe fondamental lorsque ce dernier n'est pas commutatif.

Ensuite, concernant ton exo., de mémoire (c'est loin...) pour "fabriquer" un tel Z, tu part d'un certain nombre de points(=cellules de dimension 0) correspondant a ton H0 (donc ici un seul point) puis tu "colle" des cellules de dimension de plus en plus grande pour "fabriquer" les Hn successifs.

[Archytas]

Super merci, ça me semblait trop simple de faire comme ça mais super !Et quel groupe à un groupe d'homologie qui vaut Z3 ?

[Archytas]

J'ai une autre question plus générale :
A quoi sert l'homologie réduite d'un espace (vue comme l'homologie singulière sauf en S0 où on impose en plus que dans les sommes formelles de points de X la somme des coefficients soit nulle). Après l'avoir définie on remarque qu'elle a à peu près les mêmes propriétés que l'homologie singulière et je comprends pas ce que la différence implique... Comment savoir quand l'utiliser ?

[Ben314]

Super merci, ça me semblait trop simple de faire comme ça mais super !Et quel groupe à un groupe d'homologie qui vaut Z3 ?

Je pense que la question est "Quel espace topologique a un 3-em groupe d'homotopie qui vaut Z/3Z ?".

Perso., je n'en connais pas de "naturel", mais c'est facile à "fabriquer" en partant d'une 3-celulle dont le bord est constitué de 3 fois la même 2-cellule.

Pour la question concernant l'homologie réduite, toujours de mémoire (j'ai plus ou moins oublié ce que c'était...), il me semble que c'est quasiment la même chose, mais que certains résultats s'expriment légèrement plus simplement en terme d'homologie réduite qu'en terme d'homologie singulière.

[Archytas]

Ok merci pour ta réponse, je suis un peu perdu en construction de complexe cellulaire, en gros on prends une 3-cellule donc X U e^3 et on s'arrange pour que sa surface soit constituée par exemple de 3 fois e^2 ?

[Ben314]

Il me semble bien que c'est ça (et en prenant e2 qui a un bord "nul" pour pas qu'il modifie le H1).