Question de topologie sur les boules et leurs intersections

[Menthix]

Bonjour,
Soit x appartenant à la sphère d'une boule de centre a et de rayon R, je veux montrer que l'intersection de B(x, Ɛ) (ouverte) et B(x,r) n'est pas nulle.
D'après un corrigé sur internet, on prend un y = x - ((Ɛ/2)* (x-a)/d(x-a)). Je comprends l'idée (il s'agit de prendre un y qui est dans les deux boules à la fois et de montrer que d(x,y) < r. Mon problème est que je ne sais pas où placer ce point. Je n'ai aucune idée de ce que signifie cette équation.
J'ai néanmoins une intuition : je pense qu'il s'agit du point situé sur le segment a,x et situé à distance Ɛ/2 de x (soit la moitié du rayon).
Pourriez vous m'expliquer à quoi correspond cette équation y = x - ((Ɛ/2)* (x-a)/d(x-a)) ? A quoi correspond le rapport (x-a)/d(x-a), et à quoi correspond la différence de x et de (Ɛ/2)* (x-a)/d(x-a).
Je comprends les notions de normes et de distance mais j'ai plus de mal à comprendre à quoi correspond la différence entre deux points du plan (par exemple (x-a)) sortie de la notion de norme.

Merci d'avance de vos réponses

[Kolis]

Bonjour !
Pour commencer tu devrais dire que tu es dans un espace vectoriel normé.

Les points du segment défini par sont de la forme ou encore .
La distance est donc aussi (puisque est sur la sphère).
Comme tu veux tu peux choisir et tu auras bien .
De plus et, avec , tu auras aussi soit (j'ai corrigé ton énoncé car je suppose que ce tu voulais c'est l'intersection non vide des boules ).

Aussi, ne pas employer le mot "nulle" à la place de "vide" : ce sont des choses différentes.

[Ben314]

Salut,
Peso, je comprend surtout que dalle à la question....

Soit x appartenant à la sphère d'une boule de centre a et de rayon R, je veux montrer que l'intersection de B(x, Ɛ) (ouverte) et B(x,r) n'est pas nulle.

Déjà, effectivement, qu'une partie de E soit "nulle", c'est pas trop clair ce que c'est sensé vouloir dire, mais on peut effectivement supposer qu'il faut lire à la place "vide".
Mais dans ce cas là, c'est on ne peut plus idiot comme question : l'intersection de B(x, Ɛ) et de B(x,r) [centrées au même point x], ben c'et trivialement B(x,a) où a est le plus petit des deux nombres Ɛ et r et en plus, on a même pas besoin de ça pour voir que trivialement l'intersection est non vide : il y a évidement x qui est un point commun aux deux boules !!!!

...on prend un y = x - ((Ɛ/2)* (x-a)/d(x-a)).

C'est quoi ce d ?
Une nouvelle variable ? Si oui, ben faudrait peut-être penser à dire ce qu'elle représente...
Et si c'est le symbole "distance", je te signale quand même qu'un phrase du style "quelle est la distance de Paris ?" ben ça veut rien dire : une distance, c'est un truc qu'on mesure entre deux points de l'espace (=deux vecteurs si l'espace sur lequel on travaille est un espace vectoriel).
Bref, d(x-a) ça n'a pas le moindre sens

on prend un y = x - ((Ɛ/2)* (x-a)/d(x-a)).
...ce que signifie cette équation.

Là, c'est uniquement un problème de vocabulaire (*), mais ton égalité, elle a rien à voir avec une équation. Une équation, c'est une égalité qui est soit vraie soit fausse en fonction de la valeur d'une (ou de plusieurs) lettres qu'il y a dedans (appelées les "variables" de l'équation). Et le but du jeu, c'est de trouver quelle sont la/les valeurs de la (ou des) variables pour que l'égalité en question soit vraie (ce qu'on appelle "résoudre" l'équation).
Là, ça a rien à voir avec une équation vu qu'on te dit qu'on prend y=... : l'égalité en question est donc forcément vrai et elle sert en fait de définition de la variable y.

(*) Sauf que le problème, c'est qu'à force de mettre n'importe quel mot à la place de n'importe quel autre en dépit du sens qu'ils ont, ben ça devient rapidement incompréhensible pour celui qui lit, voire même pour celui qui écrit

[Kolis]

Bonsoir Ben314 !
Tu as raison de "relever" les incohérences de l'énoncé !
Mais je me suis permis de "corriger" ce que je considère comme un lapsus : je pense qu'il voulait montrer que les boules ouvertes ont un point commun. Question classique pour montrer que tout point de la sphère est adhérent à la boule ouverte dans un espace vectoriel normé.

[Menthix]

Bonsoir Kolis,
merci beaucoup pour ta réponse ! Je comprends maintenant d'où vient cette égalité ( et qui était difficile à appréhender tant l'égalité y = t.a + (1-t)x = x + t (a-x) m'était complètement inconnue : je précise que je n'ai jamais fait de géométrie dans l'espace avant d'entamer ce chapitre de topologie cette année).

Bonsoir Ben,
Merci pour ta réponse également. Tu as raison de reprendre mais erreurs qui pour la plupart viennent des lacunes qui sont les miennes. Les autres (d(x-a) au lieu de d(x,a); intersection nulle au lieu de vide, et B(x,r) au lieu de B(a,r)) viennent de mon manque d'efforts et de concentration lors de la rédaction du message, et pour celles-là je m'en excuse.

Merci encore à vous deux
Bonne soirée