Puissances de nombres premiers

[Craw]

Bonsoir,

Je vous soumets un problème qui me bloque depuis plusieurs mois.

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Soit un entier naturel supérieur à 1, l'indicatrice d'Euler, le nième nombre premier et la somme des diviseurs de n.

Soit l'expression .
Considérons les cas où .
Alors soit est un nombre premier soit (s'il n'est pas premier) avec p un nombre premier et k un entier supérieur à 1.

La conjecture a été testée jusqu'à plus de n = 500 000 000

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Merci par avance de votre aide.

[stfj]

bonjour, tu peux donner un exemple , s'il te plaît ? J'essaie moi même d'en construire un. Soit



Malheureusement , non

[Craw]

Bonjour,

Voici un exemple avec n=680

On a

3423 est congru à 3 modulo 20 mais n'est pas premier donc on calcule

Ici 3481 est la puissance d'un nombre premier, plus précisément avec p=59 et k=2

[stfj]

D'où vient cette conjecture? Pourquoi t'y intéresses -tu ? Est-ce toi qui l'as testée jusqu'à 500,000,000?

[Craw]

Non ce n'est pas moi qui l'ai testée jusqu'à plus de 500 000 000 mais quelqu'un qui l'a fait avec PARI/GP.
J'ai trouvé cette conjecture à force de bosser sur les nombres premiers. À mon humble avis elle n'existe pas dans la littérature mathématique.

[stfj]

Je déduis de ton dernier message que c'est toi qui émet la conjecture. Pour essayer de la prouver, si elle est vraie, il faudrait que tu développes un peu les idées qui t'ont amené à énoncer cette conjecture. Cela t'aiderait toi-même à mettre de l'ordre dans tes propres idées et éventuellement moi ou un autre à la prouver. N'est-ce pas?

[Craw]

Franchement je suis allé sur wolframalpha et sur calculis.net/premier pour tester si un nombre est premier ou s'il est une puissance de nombre premier.

Je l'ai trouvée un peu au hasard, on peut dire qu'il s'agit de sérendipité.

[stfj]

[stfj]

[Craw]

Non

[stfj]

ok, . Quel est le plus petit entier pour lequel cela fonctionne?

[stfj]

En examinant ce qui se passe pour les petites valeurs de n, l'idée d'une démonstration apparaîtra peut-être.

[stfj]

[stfj]

?

[Craw]

F(4) n'est pas congru à 3 modulo 20 donc on ne s'occupe pas de ce cas.


Là encore une fois F(8) n'est pas congru à 3 modulo 20 donc on ne s'occupe pas de ce cas.

[stfj]

Quel sont des $n$ intéressants que tu as pour décrire ta conjecture ?

[Craw]

Je ne sais pas pour quels on a . À première vue il me semble que cela soit aléatoire.

[stfj]

Remarque : contient une infinité de nombres premiers d'après le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique

[stfj]

Voici un pseu-code que m'a fourni math-gpt:
pour chaque n de 3 à 700:
calculer p_n
calculer sigma(n)
calculer p_{n+2}
calculer phi = varphi(p_{n+2} - sigma(n))
F_n = phi + 1
si F_n ≡ 3 (mod 20):
afficher n et F_n

[Ben314]

Salut,
A mon avis, vu que je ne pense pas qu'il y ait le moindre lien entre les propriétés (de congruence) d'un nombre premier et son numéro , pour qu'une telle conjecture ait (un peu) du sens, il faut commencer par remplacer le par un premier quelconque.
Par contre, le , vu sa nature particulière (au niveau divisibilité) il ne faut pas le remplacer par un entier tout à fait quelconque.

Et sinon, je ne vois pas trop à quoi ça pourrait bien mener une telle conjecture, même si elle était vraie : quelle lien a-t-elle avec les problème intéressantes de l'arithmétique ?