Nombres premiers de la forme 4n+3

[Anonyme]

Bonsoir, je rencontre quelques difficultés sur ce problème ...
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3. On suppose au contraire, qu'il n'existe qu'un nombre fini d'entiers premiers de la forme 4n+3 et on les note p1,p2,...,pk.
On pose m=p1p2...pk puis m1=m+2 et m2=m+4

a) montrer que m1 congru à -1 [4] ou m2 congru à - 1 [4]
Je dis que 4n+3 congru à -1 [4] donc que m sera congru à 1 ou -1 [4] selon le nombre d'entiers premiers. Est-ce juste ?
b) On note m', celui des deux entiers m1 ou m2 qui vérifie la propriété précédente. Montrer que les diviseurs premiers de m' sont nécessairement congrus à 1 modulo 4.

Alors la je ne comprend plus. la propriété précédente n'est pas vérifié par m1 ET m2 ? puis comment faire après ?

Merci de votre aide d'avance.

[yos]

Bonsoir, le a) est OK. Pour le b), il faut remarquer que aucun des pi ne peut diviser m1 ou m2, (sinon il diviserait 1 ou 2) donc pas m' . Mais les pi sont tous les nombres premiers qui sont congrus à -1 modulo 4, donc un diviseur premier de m' (forcément impair) est de l'autre type : congru à 1 modulo 4.

m' est donc lui aussi congru à 1 modulo 4 comme produit d'entiers congrus à 1 modulo 4. Et tu as ta contradiction.