Puissance des nombres négatifs

[Internaute]

Bonjour.

Je m'interroge sur l'exposition par les nombre négatif, et plus précisément sur l'admission ou non, c'est-à-dire sur le fait d'être confronté ou non à quelque interdit mathématique du même genre que la fameuse division par .

Je sais que si est un nombre négatif et que est soit un entier soit l'inverse d'un entier impair, alors l'opération ne sera pas sans solutions. Je sais également que si est un nombre négatif et que est l'inverse d'un entier pair, alors l'opération est un interdit mathématique.

Ce qui m'intrigue particulièrement, ce sont les cas où n'est rien de cela, entre autre quand il est irrationnel voire transcendant. La machine à calculer m'indique "ERROR" quand par exemple je pose .

Je constate que je n'ai jamais trouvé aucun nombre dont soit l'arrondi à l'entier inférieur et celui à l'entier supérieur et tel que ni ni ne soit un entier ou l'inverse d'un quelconque entier impaire. J'aimerais savoir si c'est définitif, s'il est vraiment impossible d'en trouver.

Pour dire les chose autrement, j'aurais tendance à conclure ce théorème : "s'il n'existe aucune fraction irréductible où et soit des entiers et où soit impair et qui soit égal au nombre réel , alors ce dernier ne pourra être exposé par aucun nombre négatif, autrement dit, si , alors est forcément non-résoluble, est un interdit mathématique". Mais je ne suis pas sûr(e) et certain(e) de ce même théorème. Celui-ci est-il vrai? Est-il prouvé vrai? Est-il prouvé faux?

En vous remerciant.

[Ben314]

Salut,
Le problème (récurrent ces derniers temps), c'est que tu te pose la question complètement "à l'envers" de ce qui serait logique : Tu te demande "a-t-on le le droit de faire ça" alors qu'à mon sens, la question à se poser c'est (évidement) "Quelle est la définition du ça en question" et que c'est évidement de ce coté là qu'il faut chercher la/les réponse pour savoir si "on a le droit" ou pas de le faire.

Pour reprendre ton exemple archi simple de division par 0, il me semble quand même que c'est nettement plus malin, plutôt que de simplement dire "on a pas le droit de diviser par zéro", c'est de se rappeler que la définition même d'une division, c'est "l'inverse d'une multiplication", c'est à dire que 3/5, c'est le nombre qui, multiplié par 5 donne 3. Et concernant la fameuse division par 0, ben 3/0, normalement ça devrait être le nombre qui, multiplié par 0 donne 3 sauf que... y'en a pas... Et c'est pas con du tout de comprendre ça aussi (surtout) du fait que concernant 0/0, c'est pas la même problème : des nombre qui, multiplié par 0 donnent 0, c'est pas qu'il n'y en a pas, c'est que n'importe quel nombre multiplié par 0 donne 0, donc que 0/0, ben ça désigne pas un nombre en particulier, mais plutôt ça désigne tout les nombres (alors que 3/0, ben ça désigne personne).

Bon, sinon, pour en revenir au puissances, les (y'en a plusieurs) définition qu'on voit à l'école, c'est (dans cet ordre) :
(1) Si n est un entier naturel au moins égal à 1 et A un réel quelconque (voire un complexe, ou une matrice ou des tas d'autre chose) A^n, c'est AxAx...xA où le A apparait n fois.
(2) On constate qu'en fait, pour "passer" de A^n à A^(n+1), ben faut multiplier par A, donc dans l'autre sens, si A est non nul, ça veut dire que pour passer de A^n à A^(n-1), ben il faut diviser par A et ça conduit naturellement à poser A^0=A^1/A=A/A=1, puis A^(-1)=A^0/A=1/A A^(-2)=A^(-1)/A=1/A², etc
Mais toutes ces nouvelles définitions ne sont valables que pour A non nul : on accepte "plus" de valeurs pour l'exposant (des négatifs ou nuls) mais moins de valeurs pour le terme dont on prend la puissance (il doit être non nul)
(3) On vérifie alors que, pour tout n et m entiers et tout réel A (non nul si certains des exposant son négatifs) on a (A^n)(A^m)=A^(n+m) et que (A^n)^m=A^(nm) et ça donne une nouvelle idée pour "généraliser" la notion d'exposants, par exemple, si on veut définir A^(1/2), ben ça serait logique que (A^1/2))^2=A^1=A donc que A^(1/2) soit un réel qui au carré donne A. Sauf que c'est la merde vu que, si A>0, ben des réels qui au carré donne A, y'en a deux et que, si A<0, ben y'en a pas. Si A est <0, y'a pas moyen de s'en sortir (pas de solution), mais s'il est >0, on peut s'en sortir en choisissant arbitrairement que A^(1/2) c'est le nombre positif dont le carré donne A, c'est à dire la racine de A (idem pour tout les A^(1/n) avec n pair où on prend arbitrairement la solution positive).
Et là où on voit que c'est super chiant ce "choix arbitraire", c'est que maintenant, avec cette nouvelle définition, ben y'a des cas où (A^b)^c existe, mais où il n'est pas égal à A^(bc), par exemple (A^2)^(1/2), ça existe y compris quand A est négatif, mais par contre dans ce cas là, c'est pas égal à A^1=A, mais à -A.
Pour l'exposant 1/3 (et de façon générale pour les 1/n avec n impair), c'est la même chose, on aimerais bien définir A^(1/3) comme étant un réel qui, au cube donne A et là, c'est du pot, que A soit négatif ou positif, ben y'a toujours un unique réel qui au cube donne A donc on peut dire éventuellement dire que c'est lui qui vaut A^(1/3) donc que c'est la racine cubique de A.
Ensuite, ben on peut si on veut tenter de continuer à généraliser la définition en disant par exemple que A^(4/3), c'est le nombre qui au cube donne A^4 et ce nombre va exister que A soit positif ou négatif vu que tout réel positif ou négatif est le cube d'un autre réel.
Sauf que la plupart des matheux (dont moi) ainsi que la grande majorité des "outils informatique" refusent cette définition là vu qu'elle a un coté complètement aberrant : les nombres 5/3 et 10/6 sont totalement parfaitement égaux, mais, si A<0, alors A^(5/3) (= l'unique réel qui au cube donne A^5, et qui est négatif) n'est pas égal à A^(8/6) (= le réel positif qui à la puissance 6 donne A^8) ce qui parait profondément débile.

Et tout ton questionnement, en fait, il revient à cette question : faut-il accepter ou pas d'élever des nombres négatifs à des puissance fractionnaires avec l'énorme risque d'écrire des trucs complètement faux rapidement ?
Et par exemple, je t'inciterais fortement à tenter ce type d'écriture sur différentes calculettes, différents tableurs, différents logiciels de calcul formel ou de calcul numérique pour voir que certain (assez rare) trucs acceptent cette écriture, mais que la majorité la refusent.
(et si tu veut mon avis, en math, il est infiniment plus "sain" de la refuser et d'écrire et pas lorsque l'on veut accepter les x négatifs)

P.S. Et si ça t'intéresse, avec A non nul (et éventuellement négatif) et B absolument quelconque, il y a plus ou moins moyen de "définir" ce qu'est A^B, sauf que ça ne désigne plus UN nombre réel, mais en fait PLUSIEURS nombre complexes (exactement de la même façon qu'il est souvent bien plus malin de parler DES racines carrées de 4 qui sont 2 et -2 plutôt que de parler de LA racine carré de 4 : c.f. le coté arbitraire d'avoir chois la solution positive comme étant LA racine carré)
Par exemple, on parle très très souvent DES racines cinquième du réel -1 (qui a 5 racines cinquièmes).
Et on pourrait éventuellement parler de (-1)^Pi qui, au fond, désigne un ensemble infini de nombres complexes.

[Pseuda]

Bonsoir,

Je crois comprendre ta question. Au sens mathématique, quand B est irrationnel, A^B est défini par e^(B ln A), donc n'est défini que pour A>0.

Quand B est rationnel, c'est du cas par cas. A^(P/Q) (avec P/Q fraction irréductible positive) est évidemment défini pour tout A>0.

Si A<0, on peut calculer A^(P/Q) si P est pair (ce qui rend A^P positif), ou si P et Q sont impairs tous les deux , etc..., on peut faire tous les cas, mais de mémoire, cela induit des incohérences (celles soulevées par Ben314).

Ah doublée par plus compétent que moi, tant pis je laisse..

[Ben314]

Ah doublée par plus compétent que moi, tant pis je laisse..

D'un autre coté, il peut commencer par lire tes 5 lignes, puis, si ça lui suffit pas et qu'il s'en sent le courage, attaquer le pavé que j'ai pondu...

[Pseuda]

En fait je crois comprendre quelque chose de plus subtil dans ta question : la calculatrice ne calcule pas (-5)^pi, mais en approximant pi par une fraction rationnelle de numérateur positif, on pourrait en calculer une valeur approchée, et par ce biais, en donner une définition.

[Internaute]

Salut,
Le problème (récurrent ces derniers temps), c'est que tu te pose la question complètement "à l'envers" de ce qui serait logique : Tu te demande "a-t-on le le droit de faire ça" alors qu'à mon sens, la question à se poser c'est (évidement) "Quelle est la définition du ça en question" et que c'est évidement de ce coté là qu'il faut chercher la/les réponse pour savoir si "on a le droit" ou pas de le faire.

Pour reprendre ton exemple archi simple de division par 0, il me semble quand même que c'est nettement plus malin, plutôt que de simplement dire "on a pas le droit de diviser par zéro", c'est de se rappeler que la définition même d'une division, c'est "l'inverse d'une multiplication", c'est à dire que 3/5, c'est le nombre qui, multiplié par 5 donne 3. Et concernant la fameuse division par 0, ben 3/0, normalement ça devrait être le nombre qui, multiplié par 0 donne 3 sauf que... y'en a pas... Et c'est pas con du tout de comprendre ça aussi (surtout) du fait que concernant 0/0, c'est pas la même problème : des nombre qui, multiplié par 0 donnent 0, c'est pas qu'il n'y en a pas, c'est que n'importe quel nombre multiplié par 0 donne 0, donc que 0/0, ben ça désigne pas un nombre en particulier, mais plutôt ça désigne tout les nombres (alors que 3/0, ben ça désigne personne).

Bon, sinon, pour en revenir au puissances, les (y'en a plusieurs) définition qu'on voit à l'école, c'est (dans cet ordre) :
(1) Si n est un entier naturel au moins égal à 1 et A un réel quelconque (voire un complexe, ou une matrice ou des tas d'autre chose) A^n, c'est AxAx...xA où le A apparait n fois.
(2) On constate qu'en fait, pour "passer" de A^n à A^(n+1), ben faut multiplier par A, donc dans l'autre sens, si A est non nul, ça veut dire que pour passer de A^n à A^(n-1), ben il faut diviser par A et ça conduit naturellement à poser A^0=A^1/A=A/A=1, puis A^(-1)=A^0/A=1/A A^(-2)=A^(-1)/A=1/A², etc
Mais toutes ces nouvelles définitions ne sont valables que pour A non nul : on accepte "plus" de valeurs pour l'exposant (des négatifs ou nuls) mais moins de valeurs pour le terme dont on prend la puissance (il doit être non nul)
(3) On vérifie alors que, pour tout n et m entiers et tout réel A (non nul si certains des exposant son négatifs) on a (A^n)(A^m)=A^(n+m) et que (A^n)^m=A^(nm) et ça donne une nouvelle idée pour "généraliser" la notion d'exposants, par exemple, si on veut définir A^(1/2), ben ça serait logique que (A^1/2))^2=A^1=A donc que A^(1/2) soit un réel qui au carré donne A. Sauf que c'est la merde vu que, si A>0, ben des réels qui au carré donne A, y'en a deux et que, si A<0, ben y'en a pas. Si A est <0, y'a pas moyen de s'en sortir (pas de solution), mais s'il est >0, on peut s'en sortir en choisissant arbitrairement que A^(1/2) c'est le nombre positif dont le carré donne A, c'est à dire la racine de A (idem pour tout les A^(1/n) avec n pair où on prend arbitrairement la solution positive).
Et là où on voit que c'est super chiant ce "choix arbitraire", c'est que maintenant, avec cette nouvelle définition, ben y'a des cas où (A^b)^c existe, mais où il n'est pas égal à A^(bc), par exemple (A^2)^(1/2), ça existe y compris quand A est négatif, mais par contre dans ce cas là, c'est pas égal à A^1=A, mais à -A.
Pour l'exposant 1/3 (et de façon générale pour les 1/n avec n impair), c'est la même chose, on aimerais bien définir A^(1/3) comme étant un réel qui, au cube donne A et là, c'est du pot, que A soit négatif ou positif, ben y'a toujours un unique réel qui au cube donne A donc on peut dire éventuellement dire que c'est lui qui vaut A^(1/3) donc que c'est la racine cubique de A.
Ensuite, ben on peut si on veut tenter de continuer à généraliser la définition en disant par exemple que A^(4/3), c'est le nombre qui au cube donne A^4 et ce nombre va exister que A soit positif ou négatif vu que tout réel positif ou négatif est le cube d'un autre réel.
Sauf que la plupart des matheux (dont moi) ainsi que la grande majorité des "outils informatique" refusent cette définition là vu qu'elle a un coté complètement aberrant : les nombres 5/3 et 10/6 sont totalement parfaitement égaux, mais, si A<0, alors A^(5/3) (= l'unique réel qui au cube donne A^5, et qui est négatif) n'est pas égal à A^(8/6) (= le réel positif qui à la puissance 6 donne A^8) ce qui parait profondément débile.

Et tout ton questionnement, en fait, il revient à cette question : faut-il accepter ou pas d'élever des nombres négatifs à des puissance fractionnaires avec l'énorme risque d'écrire des trucs complètement faux rapidement ?
Et par exemple, je t'inciterais fortement à tenter ce type d'écriture sur différentes calculettes, différents tableurs, différents logiciels de calcul formel ou de calcul numérique pour voir que certain (assez rare) trucs acceptent cette écriture, mais que la majorité la refusent.
(et si tu veut mon avis, en math, il est infiniment plus "sain" de la refuser et d'écrire et pas lorsque l'on veut accepter les x négatifs)

P.S. Et si ça t'intéresse, avec A non nul (et éventuellement négatif) et B absolument quelconque, il y a plus ou moins moyen de "définir" ce qu'est A^B, sauf que ça ne désigne plus UN nombre réel, mais en fait PLUSIEURS nombre complexes (exactement de la même façon qu'il est souvent bien plus malin de parler DES racines carrées de 4 qui sont 2 et -2 plutôt que de parler de LA racine carré de 4 : c.f. le coté arbitraire d'avoir chois la solution positive comme étant LA racine carré)
Par exemple, on parle très très souvent DES racines cinquième du réel -1 (qui a 5 racines cinquièmes).
Et on pourrait éventuellement parler de (-1)^Pi qui, au fond, désigne un ensemble infini de nombres complexes.

Bonsoir.

En fait, j'étais déjà au courant d'absolument tout ce qui est dit dans votre commentaire.

Je sais qu'il existe des puissance de nombres négatifs qui sont dépourvu de solutions et d'autres qui ne le sont pas. En fait, pour toute équation où est rationnel, je saurai dire s'il existe ou non une solution de l'opération .

Ma question portait sur le cas où était irrationnel, voire transcendant. Je voulais savoir si cette irrationalité engendrait forcément le fait que l'opération soit un interdit mathématique.

Toujours est-il que je vous remercie pour l'attention que vous avez portée à ma question.

[Internaute]

Bonsoir,

Je crois comprendre ta question. Au sens mathématique, quand B est irrationnel, A^B est défini par e^(B ln A), donc n'est défini que pour A>0.

Quand B est rationnel, c'est du cas par cas. A^(P/Q) (avec P/Q fraction irréductible positive) est évidemment défini pour tout A>0.

Si A<0, on peut calculer A^(P/Q) si P est pair (ce qui rend A^P positif), ou si P et Q sont impairs tous les deux , etc..., on peut faire tous les cas, mais de mémoire, cela induit des incohérences (celles soulevées par Ben314).

Ah doublée par plus compétent que moi, tant pis je laisse..

Merci pour votre réponse.

Celle-ci m'a appris absolument tout ce que je souhaitais savoir dans ma question.

[Pseuda]

Toujours est-il que A^(P/Q) n'est pas défini pour A<0, P impair et Q pair, par exemple (-5)^(3/2).

[Internaute]

En fait je crois comprendre quelque chose de plus subtil dans ta question : la calculatrice ne calcule pas (-5)^pi, mais en approximant pi par une fraction rationnelle de numérateur positif, on pourrait en calculer une valeur approchée, et par ce biais, en donner une définition.

C'est exact, même si le tableur informatique Excel m'a donné exactement le même message d'erreur quand j'ai inséré la formule de calcul correspondante.

Toujours est-il qu'en m'apprenant que dès lors que était irrationnel alors , vous avez démontré que était bel et bien un interdit mathématique.

[Internaute]

Toujours est-il que A^(P/Q) n'est pas défini pour A<0, P impair et Q pair, par exemple (-5)^(3/2).

C'est exact

[Pseuda]

Toujours est-il que A^(P/Q) n'est pas défini pour A<0, P impair et Q pair, par exemple (-5)^(3/2).

C'est exact

Mais cela fait une incohérence : (-5)^(3/2)=(-5)^(6/4)=5^(6/4)=5^(3/2), donc finalement on peut prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Comme (-5)^3=(-5)^(6/2)=5^(6/2)=5^3, donc -125=125 (!).

C'est pour ça que tout cela est à manipuler avec précaution.

[nodgim]

Je ne comprends pas, Pseuda, pourquoi tu écris (-5) ^ (6/4) = 5 ^(6/4).
Tu peux développer ?

[Pseuda]

Bonjour,

C'est pourtant simple : (-5)^(6/4)=((-5)^6)^(1/4)=(((-5)^2)^3)^(1/4)=((5^2)^3)^(1/4)=5^(6/4).

Dès qu'on a une puissance paire au numérateur (ce qu'il est toujours possible de faire), le nombre devient positif. C'est certainement pour cette raison que les calculatrices ne se risquent pas à calculer les puissances fractionnaires des nombres négatifs.

[Internaute]

Bonjour,

C'est pourtant simple : (-5)^(6/4)=((-5)^6)^(1/4)=(((-5)^2)^3)^(1/4)=((5^2)^3)^(1/4)=5^(6/4).

Dès qu'on a une puissance paire au numérateur (ce qu'il est toujours possible de faire), le nombre devient positif. C'est certainement pour cette raison que les calculatrices ne se risquent pas à calculer les puissances fractionnaires des nombres négatifs.

Du paradoxe que vous soulever, il faut déduire que les propriétés de calcul des puissances que l'on apprend dès le collège, à savoir par exemple ou encore sont des propriété valable dès lors que et que , mais pas forcément quand cette condition de supériorité à n'est pas remplie.

[nodgim]

Bonjour,

C'est pourtant simple : (-5)^(6/4)=((-5)^6)^(1/4)=(((-5)^2)^3)^(1/4)=((5^2)^3)^(1/4)=5^(6/4).

Dès qu'on a une puissance paire au numérateur (ce qu'il est toujours possible de faire), le nombre devient positif. C'est certainement pour cette raison que les calculatrices ne se risquent pas à calculer les puissances fractionnaires des nombres négatifs.

Du paradoxe que vous soulever, il faut déduire que les propriétés de calcul des puissances que l'on apprend dès le collège, à savoir par exemple ou encore sont des propriété valable dès lors que et que , mais pas forcément quand cette condition de supériorité à n'est pas remplie.

Cette simplicité est pourtant bien ennuyeuse....
(-5) ^ (6/4) = a
équivaudrait à :
a ^ (4/6) = -5
Or a ^ (4/6) > 0.

[Ben314]

Du paradoxe que vous soulever, il faut déduire que les propriétés de calcul des puissances que l'on apprend dès le collège, à savoir par exemple ou encore sont des propriété valable dès lors que et que , mais pas forcément quand cette condition de supériorité à n'est pas remplie.

Oui... et non :
Par exemple et sont valables lorsque :
1) et et sont des réels absolument quelconques.
2) et et sont des réels strictement positifs.
3) réel non nul et et sont des entiers relatifs quelconques.
4) réel absolument quelconque et et sont des entiers naturels non nuls.

Et ce n'est (heureusement) pas contradictoire avec ce qui est donné au collège vu qu'au collège, c'est les cas 3) et 4) qui sont donnés (seul les exposants entiers sont vus).

[Internaute]

Du paradoxe que vous soulever, il faut déduire que les propriétés de calcul des puissances que l'on apprend dès le collège, à savoir par exemple ou encore sont des propriété valable dès lors que et que , mais pas forcément quand cette condition de supériorité à n'est pas remplie.

Oui... et non :
Par exemple et sont valables lorsque :
1) et et sont des réels absolument quelconques.
2) et et sont des réels strictement positifs.
3) réel non nul et et sont des entiers relatifs quelconques.
4) réel absolument quelconque et et sont des entiers naturels non nuls.

Et ce n'est (heureusement) pas contradictoire avec ce qui est donné au collège vu qu'au collège, c'est les cas 3) et 4) qui sont donnés (seul les exposants entiers sont vus).

Tout à fait.

Et je ne remet aucunement en cause ce qui est écrit les livres scolaires collégiens mathématiques.

[Pseuda]

Bonsoir,

C'est à cause de ces incohérences que l'écriture A^B n'est valable à mon sens si on veut rester dans les réels, que pour :
- A>0, quelque soit B réel, qui est parfaitement défini par e^(B ln A),
- A<0 et B entier.
Soit le collège.
Dans les autres cas (B fractionnaire ou irrationnel), c'est flou, et on ne peut pas appliquer les règles sur les exposants entiers.

Mais cela n'empêche pas de dire que la racine cubique réelle de -125, c'est -5.