Montrer que a puissance n et b puissance m sont premier entr

[Françoisdesantilles]

Bonjour,
je voulais savoir si ma réponse est bonne et complète pour la question 1 de cet exercice et si possible je voulais savoir si quelqu'un peu corrigé la question 2 svp?
(je sais qu'il faut utiliser le binôme de Newton mais bon).

Exercice:
1. Montrer que si a et b sont tous les deux premiers à n, alors ab est
encore premier à n.

2. Montrer que si deux entiers a et b sont premiers entre eux, il en est de même
de a^n et b^m (a puissance n et b puissance m), pour m et n deux entiers naturels.

Mes réponses

https://zupimages.net/viewer.php?id=23/05/3trw.jpeg

[phyelec]

Pour la question 1) Ok mais il manque le terme nvbr dans votre développement
Pour la question 2) je pense qu'en écrivant la décomposition en produit de facteurs premiers de a et b, on peut y arriver

[Françoisdesantilles]

Pour la question 1) Ok mais il manque le terme nvbr dans votre développement
Pour la question 2) je pense qu'en écrivant la décomposition en produit de facteurs premiers de a et b, on peut y arriver

Merci beaucoup pour votre aide, ça m'arrive de faire des erreurs d'innatention.

Pour le 2) mon prof avait trouver (a+b)^(m+n-1) mais j'avou que j'ai pas tout compris, ça paraissait long, fallait y aller "à tatôn".
Je vais essayé votre méthode aussi, mieux vaut avoir plusieurs corde à son arc

[Françoisdesantilles]

Bonjour,
je voulais savoir si ma réponse est bonne et complète pour la question 1 de cet exercice et si possible je voulais savoir si quelqu'un peu corrigé la question 2 svp?
(je sais qu'il faut utiliser le binôme de Newton mais bon).

Exercice:
1. Montrer que si a et b sont tous les deux premiers à n, alors ab est
encore premier à n.

2. Montrer que si deux entiers a et b sont premiers entre eux, il en est de même
de a^n et b^m (a puissance n et b puissance m), pour m et n deux entiers naturels.

Mes réponses

https://zupimages.net/viewer.php?id=23/05/3trw.jpeg

Il existe (u,v) appartenant à Z tel que au+bv=1 (1) c'est important de le précisé

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
La méthode suggérée par ton prof va très bien pour la 2).. On part d'une identité de Bézout et on utilise la formule du binôme

et on divise la somme en deux paquets, un où on peut mettre en facteur (pour et l'autre où on peut mettre en facteur (pour ).

[tournesol]

tu appliques le résultat 1:
si a est premier avec b, alors a et a sont premiers avec b.
donc aa est premier avec b
tu continues par récurrence .
Ensuite puisque b est premier avec a^n, alors b^m esr premier avec a^n.

[lyceen95]

J'imagine que pour être dans l'esprit de l'exercice, il faut voir la 2ème question comme une application 'directe' de la première.
Réécrivons la propriété de la 1ère question, avec d'autres noms de variables : si a et c sont premiers avec b, alors ac est premier avec b.
En particulier quand a=c, ça donne : si a est premier avec b, alors a^2 est premier avec b. Et en répétant cela, a^n est premier avec b.

Puis on inverse les rôles de a et b.

[GaBuZoMeu]

L'esprit de l'exercice est peut-être d'utiliser des identités de Bézout ?

[Françoisdesantilles]

L'esprit de l'exercice est peut-être d'utiliser des identités de Bézout ?

Certainement car on parle souvent du théorème de Bézout et c'est un cours sur l'arithmétique ,la congruence

[Françoisdesantilles]

Bonsoir,
La méthode suggérée par ton prof va très bien pour la 2).. On part d'une identité de Bézout et on utilise la formule du binôme

et on divise la somme en deux paquets, un où on peut mettre en facteur (pour et l'autre où on peut mettre en facteur (pour ).

Il a fait exactement ce que tu dis, je vais essayé de retrouvé ce qu'il avait trouvé

[tournesol]

lycéen95 , tu m'as plagié !

[Françoisdesantilles]

lycéen95 , tu m'as plagié !

Pardon?
Tu as eu la même question que moi?

[lyceen95]

Mon message disait la même chose que le message envoyé par Tournesol une heure auparavant (et que je découvre maintenant). C'est pour ça que Tournesol dit que je l'ai plagié.