Projection sur convexe?

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Projection sur convexe?

par Lostounet » 04 Mar 2017, 14:13

Bonjour,

Soit H un Hilbert, et a et y dans H avec a non nul.
Soit b un réel, soit

Je dois exprimer la distance d(y;A).

J'ai appliqué le théorème de projection sur un ... convexe pour regarder ce que donne . Par exemple peut-être en regardant le théorème de Pythagore?

Y'a-t-il un lien entre le théorème de représentation de Riesz et la définition de A (qu'est-ce qui assure que A est non vide?)

Merci de vos conseils



Doraki
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Re: Projection sur convexe?

par Doraki » 04 Mar 2017, 14:20

tu ferais comment dans R² ou R^3 avec les produits scalaires usuels ?

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Re: Projection sur convexe?

par Lostounet » 04 Mar 2017, 14:26

Disons que je ferais une projection orthogonale et j'utiliserais le théorème de Pythagore...

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zygomatique
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Re: Projection sur convexe?

par zygomatique » 04 Mar 2017, 15:27

salut

A n'est-il pas un hyperplan de H ?

soit k un scalaire et u = ka

<a, u> = b <=> k = b/||a||^2

<a, x> = b <=> <a, x> = <a, u> <=> <a, x - u> = 0

...
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Re: Projection sur convexe?

par Ben314 » 04 Mar 2017, 20:16

Lostounet a écrit:Soit H un Hilbert, et a et y dans H avec a non nul.
Soit b un réel, soit
. . . qu'est-ce qui assure que A est non vide ?
Le fait que non nul t'assure que, existe et, trivialement, est dans . . .
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Re: Projection sur convexe?

par Lostounet » 04 Mar 2017, 22:29

Que représente vraiment ce u, zygomatique?

Compte tenu du résultat, il me semble que c'est la projection du vecteur y sur A non?
Et je calcule bien la distance en calculant ||y - u|| ?

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Re: Projection sur convexe?

par zygomatique » 04 Mar 2017, 22:46

ben u c'est un vecteur colinéaire à a tel que <a, u> = b

et je t'ai donné le coefficient de colinéarité qui est le même que celui que Ben314 a donné ...
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Re: Projection sur convexe?

par Lostounet » 04 Mar 2017, 22:54

Oui ça j'ai bien compris, mais ensuite la chute est floue.
Je veux projeter y sur A, donc est-ce que u est effectivement le projeté de y sur A?

Car si a est dans A et que effectivement u est le projeté alors on devrait avoir <a; y - u> = 0

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Re: Projection sur convexe?

par Lostounet » 05 Mar 2017, 11:03

D'ailleurs A est un hyperplan comme noyau de forme linéaire continue?

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Re: Projection sur convexe?

par Ben314 » 05 Mar 2017, 12:22

Lostounet a écrit:D'ailleurs A est un hyperplan comme noyau de forme linéaire continue?
Perdu...
A est un hyperplan affine [et fermé], c'est à dire pour une certaine forme linéaire non nulle [et continue] .
Mais, si , ce n'est pas un hyperplan vectoriel donc pas le noyau d'une forme linéaire.

Et je comprend pas pourquoi tu t"emmerde à vouloir utiliser je sais pas qui comme théorème alors que ça se fait trivialement sans le moindre théorème :
Le point est dans ssi c'est à dire (par hypothèse ).
Pour cet et tout on a car donc (pythagore)
avec égalité ssi
Donc et le projeté de sur est .

Et tu peut (tu doit ?) évidement ponctuer le tout d'un dessin dans faisant apparaitre toutes les données vu qu'en l'occurrence, il y a pas la moindre différence avec le cas de dimension quelconque :
Capture.png
Capture.png (11.51 Kio) Vu 164 fois
est le sous espace vectoriel associé au sous espace affine .
Modifié en dernier par Ben314 le 05 Mar 2017, 13:14, modifié 4 fois.
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Re: Projection sur convexe?

par Lostounet » 05 Mar 2017, 12:43

Salut Ben

Merci pour cette réponse détaillée.
Je me suis douté que c'est un hyperplan affine quand j'ai vu que b étant fixé au début, il devait valoir 0 pour parler d'espace vectoriel.

Heureusement cela reste convexe quand même. Tout est limpide à présent.

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Re: Projection sur convexe?

par Ben314 » 05 Mar 2017, 13:16

Je le redit, mais à mon avis, de parler de "projection sur un convexe fermé", au mieux, tu peut en parler à la fin de la preuve, mais en signalant que dans un tel contexte, c'est un peu "un marteau pour écraser une mouche" vu que là, c'est "de niveau collège" : exactement la même preuve mot à mot s'y fait au moment où on voit Pythagore pour justifier que le projeté orthogonal d'un point A sur une droite D est celui qui minimise la distance de AM avec M dans D.

Bref, c'est effectivement un exemple de projection sur un convexe fermé, mais à mon avis, c'est un "mauvais exemple" vu la facilité de la preuve directe par rapport à la difficulté du résultat général. Sans compter qu'ici, on en a rien à f... que l'espace soit complet ou pas : sur un préhilbertien, ça marcherais tout pareil alors que si tu projette sur un convexe fermé quelconque, sans la complétude, tu l'as dans le baba et ça montre bien que le cas général des convexes fermé est autrement plus balaise que ce cas là.
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aviateur
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Re: Projection sur convexe?

par aviateur » 05 Mar 2017, 13:30

Bonjour,
Ok avec ce qui est dit et : en résumé et pour faire simple,
tu fais l'exercice dans R^2, tu t'interdis d'utiliser une base (autrement dit ne pas faire l'exercice analytiquement) et tu te rends compte que l'on est dans un "Hilbert" où mon petit exercice résiste malgré tout.

 

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