Savez-vous s'il est possible de montrer le résultat suivant
Le maximum d'une fonction convexe et continue sur un ensemble convexe et compact est atteint en un point extrémal
sans avoir recours au théorème de Krein-Milman ? ("tout point d'un convexe peut s'écrire comme la somme pondérée -- les coefficients étant compris entre 0 et 1 -- de ses points extrémaux")
J'essaie de trouver une preuve plus simple, mais tout ce que je trouve pour l'instant repose sur le résultat suivant
L'image d'un ensemble convexe et compact par une fonction continue convexe est convexe
que je ne parviens pas à démontrer.
Soit convexe et compact, soit continue convexe, montrons que est convexe.
Si est affine, le résultat est immédiat : l'inégalité précédente est une égalité, donc s'écrit avec , donc i.e est convexe.
Maintenant, si est "juste" convexe, je n'arrive pas à aller plus loin. Il faudrait exprimer comme pour un certain ... et c'est ici que je bloque.
Merci d'avance !