Projection sur un convexe fermé

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Ncdk
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Projection sur un convexe fermé

par Ncdk » 01 Fév 2017, 23:07

Soit H un espace de Hilbert.

Déterminer une expression de la projection sur la boule unité fermée de H.

Je voulais déjà voir ce qui se passe géométriquement, c'est-à-dire de voir ce que vaut la projection sur la boule du point x dans le cas où x est dans la boule et le cas où x est pas dans la boule.

Pour le 1er cas, c'est évident mais pour le 2ème cas je comprends pas pourquoi si on prend alors . C'est l'argument géométrique que je comprends pas.



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Ben314
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Re: Projection sur un convexe fermé

par Ben314 » 02 Fév 2017, 09:52

Salut
Capture.png
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Géométriquement parlant, ça parait quand même complètement évident que lorsque est en dehors de la boule, le point de la boule unité fermée qui est le plus proche de , c'est .
Et calculatoirement parlant, quelque soit la caractérisation que tu prend du projeté sur un convexe, ça se démontre en une ligne, par exemple en écrivant que, pour tout on a
.
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Ncdk
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Re: Projection sur un convexe fermé

par Ncdk » 02 Fév 2017, 11:00

C'est cette évidence géométrique que je comprends pas, diviser un point par la norme d'un point, je vois pas pourquoi, c'est tout bête j'en suis sur, c'est même un truc de début lycée j'en suis persuader mais je ne comprends pas ^^

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Re: Projection sur un convexe fermé

par zygomatique » 02 Fév 2017, 14:33

salut

ce ne sont pas des points mais des vecteurs ... et on sait multiplier un vecteur par un scalaire ...

ne pas oublier qu'un espace de Hilbert est avant tout un espace vectoriel ...

donc ||kx|| = |k| ||x|| donc si x <> 0 et k = 1/||x|| alors ||kx|| = 1
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Projection sur un convexe fermé

par Ncdk » 02 Fév 2017, 15:51

Sur le schéma de Ben, j'ai du mal à voir ce que c'est x, moi je vois un point

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Re: Projection sur un convexe fermé

par Ben314 » 02 Fév 2017, 16:07

Le problème, c'est de savoir qu'est ce que c'est que tu appelle "un point" et qu'est ce que c'est que tu appelle "un vecteur".
Si on s'en tient au coté totalement formel, ben un point, c'est un élément d'un espace affine et un vecteur un élément d'un espace vectoriel.
Et comme tout espace vectoriel peut être vu comme un espace affine (en prenant ), ça ne pose aucun problème de considérer que des "vecteurs" sont des "points" (ça poserait plus de problème dans l'autre sens vu que pour considérer qu'un "point" est un "vecteur", il faut munir l'espace affine d'une structure d'espace vectoriel et qu'on ne peut le faire qu'en choisissant arbitrairement un point O qui va servir d'origine, c'est à dire de vecteur nul).

Bref, sur le dessin, j'ai représenté le "vecteur" x par le "point" M tel que et ça change que dalle au point de vue.
Et de façon plus générale, dans à peu prés tout les bouquins/poly., lorsque l'on parle de chose comme des projections sur des convexes, on utilise plutôt le mot "point" que "vecteurs", même si l'espace ambiant est en fait un espace vectoriel (et je le (re)dit : ce n'est pas un "abus de langage" vu que tout espace vectoriel est en particulier un espace affine).
On peut aussi dire que la raison pour laquelle on parle de "points" plutôt que de vecteur, c'est que toutes les définitions qu'on a posé pourraient tout aussi bien s'appliquer au cas (plus général) des espaces affines qu'à celui des espaces vectoriels : par exemple, il n'y a aucun problème pour projeter sur un convexe fermé d'un espace affine, sans parler du fait que les premiers exemples qui viennent à l'esprit de convexes fermés d'un espace vectoriel E sont non seulement les sous espaces vectoriels (fermés) de E, mais aussi les sous espaces affines de E : dans R², tu peut (évidement et heureusement) projeter sur la droite d'équation y=x+1 qui n'est pas un sous espace vectoriel de R², mais un sous espace affine (et que au départ ton R², tu l'ait vu comme un espace affine ou comme un espace vectoriel, ben ça change évidement rien au problème).
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Re: Projection sur un convexe fermé

par Ncdk » 02 Fév 2017, 16:41

D'accord, mais je vois où ça coince, c'est bon !

Mais du coup, le projeté de x sur B c'est un point mais il peut être vu comme un vecteur (au même titre que x), au vu de ce que tu m'as dit. Le but de ce projeté c'est de rendre le vecteur x de norme 1 c'est ça ? Mais c'est un cas particulier non ? Si on veut projeté un vecteur sur autre chose que la boule unité, comment ça se passe ?

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Re: Projection sur un convexe fermé

par Ben314 » 02 Fév 2017, 17:32

Fondamentalement, le projeté de x, c'est... un élément de B, donc un élément de H, c'est à dire que, mathématiquement parlant LE truc qui est vrai, c'est que
Après, quand tu l'écrit "en Français" où quand tu le prononce, que tu dise le point x ou le vecteur x, ça va pas changer grand chose.

Après, "le but de ce projeté", à mon sens, c'est juste de donner un exemple archi. simple de ce qu'est la projection sur un convexe qui ne soit pas un sous espace vectoriel (ni affine) de H histoire de visualiser le bidule et c'est évidement un cas particulier de "projection sur un convexe", mais qui permet de fixer les idées.
Et si tu veut projeter sur autre chose, ben tout dépend de la tête du truc sur lequel tu projette : essaye de voir sur un dessin ce que ça donnerais par exemple la projection dans R² sur [-1,1]x[-1,1] histoire de voir ce que ça donne si on projette sur un truc qui as des angles (ça sera forcément moins "régulier").
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