Projection sur convexe?
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Mar 2017, 15:13
Bonjour,
Soit H un Hilbert, et a et y dans H avec a non nul.
Soit b un réel, soit
Je dois exprimer la distance d(y;A).
J'ai appliqué le théorème de projection sur un ... convexe pour regarder ce que donne
. Par exemple peut-être en regardant le théorème de Pythagore?
Y'a-t-il un lien entre le théorème de représentation de Riesz et la définition de A (qu'est-ce qui assure que A est non vide?)
Merci de vos conseils
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Doraki
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par Doraki » 04 Mar 2017, 15:20
tu ferais comment dans R² ou R^3 avec les produits scalaires usuels ?
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Mar 2017, 15:26
Disons que je ferais une projection orthogonale et j'utiliserais le théorème de Pythagore...
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zygomatique
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par zygomatique » 04 Mar 2017, 16:27
salut
A n'est-il pas un hyperplan de H ?
soit k un scalaire et u = ka
<a, u> = b <=> k = b/||a||^2
<a, x> = b <=> <a, x> = <a, u> <=> <a, x - u> = 0
...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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Ben314
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par Ben314 » 04 Mar 2017, 21:16
Lostounet a écrit:Soit H un Hilbert, et a et y dans H
avec a non nul.
Soit b un réel, soit
. . . qu'est-ce qui assure que A est non vide ?
Le fait que
non nul t'assure que,
existe et, trivialement,
est dans
. . .
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Mar 2017, 23:29
Que représente vraiment ce u, zygomatique?
Compte tenu du résultat, il me semble que c'est la projection du vecteur y sur A non?
Et je calcule bien la distance en calculant ||y - u|| ?
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zygomatique
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par zygomatique » 04 Mar 2017, 23:46
ben u c'est un vecteur colinéaire à a tel que <a, u> = b
et je t'ai donné le coefficient de colinéarité qui est le même que celui que Ben314 a donné ...
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Mar 2017, 23:54
Oui ça j'ai bien compris, mais ensuite la chute est floue.
Je veux projeter y sur A, donc est-ce que u est effectivement le projeté de y sur A?
Car si a est dans A et que effectivement u est le projeté alors on devrait avoir <a; y - u> = 0
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Lostounet
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par Lostounet » 05 Mar 2017, 12:03
D'ailleurs A est un hyperplan comme noyau de forme linéaire continue?
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Ben314
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par Ben314 » 05 Mar 2017, 13:22
Lostounet a écrit:D'ailleurs A est un hyperplan comme noyau de forme linéaire continue?
Perdu...
A est un hyperplan
affine [et fermé], c'est à dire
pour une certaine forme linéaire non nulle [et continue]
.
Mais, si
, ce n'est pas un hyperplan
vectoriel donc pas le noyau d'une forme linéaire.
Et je comprend pas pourquoi tu t"emmerde à vouloir utiliser je sais pas qui comme théorème alors que ça se fait trivialement sans le moindre théorème :
Le point
est dans
ssi
c'est à dire
(par hypothèse
).
Pour cet
et tout
on a
car
donc (pythagore)
avec égalité ssi
Donc
et le projeté de
sur
est
.
Et tu peut (tu doit ?) évidement ponctuer le tout d'un dessin dans
faisant apparaitre toutes les données vu qu'en l'occurrence, il y a pas la moindre différence avec le cas de dimension quelconque :
- Capture.png (11.51 Kio) Vu 547 fois
Où
est le sous espace vectoriel associé au sous espace affine
.
Modifié en dernier par
Ben314 le 05 Mar 2017, 14:14, modifié 4 fois.
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Lostounet
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par Lostounet » 05 Mar 2017, 13:43
Salut Ben
Merci pour cette réponse détaillée.
Je me suis douté que c'est un hyperplan affine quand j'ai vu que b étant fixé au début, il devait valoir 0 pour parler d'espace vectoriel.
Heureusement cela reste convexe quand même. Tout est limpide à présent.
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Ben314
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par Ben314 » 05 Mar 2017, 14:16
Je le redit, mais à mon avis, de parler de "projection sur un convexe fermé", au mieux, tu peut en parler à la fin de la preuve, mais en signalant que dans un tel contexte, c'est un peu "un marteau pour écraser une mouche" vu que là, c'est "de niveau collège" : exactement la même preuve mot à mot s'y fait au moment où on voit Pythagore pour justifier que le projeté orthogonal d'un point A sur une droite D est celui qui minimise la distance de AM avec M dans D.
Bref, c'est effectivement un exemple de projection sur un convexe fermé, mais à mon avis, c'est un "mauvais exemple" vu la facilité de la preuve directe par rapport à la difficulté du résultat général. Sans compter qu'ici, on en a rien à f... que l'espace soit complet ou pas : sur un préhilbertien, ça marcherais tout pareil alors que si tu projette sur un convexe fermé quelconque, sans la complétude, tu l'as dans le baba et ça montre bien que le cas général des convexes fermé est autrement plus balaise que ce cas là.
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aviateur
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par aviateur » 05 Mar 2017, 14:30
Bonjour,
Ok avec ce qui est dit et : en résumé et pour faire simple,
tu fais l'exercice dans R^2, tu t'interdis d'utiliser une base (autrement dit ne pas faire l'exercice analytiquement) et tu te rends compte que l'on est dans un "Hilbert" où mon petit exercice résiste malgré tout.
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