Projection sur un ensemble convexe fermé

[MacManus]

Bonsoir !

On considère l'opérateur de projection sur un ensemble convexe fermé non vide de .
Soient et tels que soit la projection de sur .

Soit . J'ai établi que : . ( désigne le produit scalaire sur )

Questions :

1- Interpréter géométriquement cette inégalité variationnelle. Que peut-on dire quand C est S.E.V. ?
2- Montrer que C est l'ensemble des point fixes de . En déduire que et que est linéaire ssi C est un S.E.V.


1- J'ai fait un dessin et on constate que l'angle formé par ces vecteurs est optus. Est-ce qu'il y a autre chose de remarquable ? peut-on être plus rigoureux ?
Si C est un S.E.V, cela siginifie que la projection est définie comme étant Inf{d(u,v), v dans C}, non ?

2- Faut-il revenir sur le fait que C est convexe, en disant que pour tout t dans [0,1] et pour tout x,y dans C, tx + (1-t)y est dans C, ou bien c'est inutile ? Pour la suite, je sais que p²=p est une des caractérisations d'un opérateur de projection, mais comment le prouver simplement ? Enfin pour l'équivalence, je vois comment faire.


Merci beaucoup pour votre aide.

[girdav]

Bonjour
si comme on a bien que et si alors par exemple par l'équivalence précédente on déduit que (sinon on peut dire que le projeté est le point qui réalise le minimum entre la distance de à qui est nulle car est fermé).

[MacManus]

D'accord, merci pour ta réponse Girdav.

[Ben314]

Salut,
Pour l'interprétation géométrique, tu peut aussi dire que, si , c'est à dire si alors l'ensemble H des tels que est un hyperplan (affine) (en fait l'hyperplan orthogonal à la droite passant par ) et que ton résultat dit que C est entièrement contenu dans le demi-espace délimité par H et ne contenant pas (ça s'appelle l'hyperplan "d'appui")

Pour le 2) fait attention, le fait que p²=p ne signifie que p est un projecteur qu si on sait déjà que p est linéaire : par exemple, "l'opérateur de projection" sur une boule n'est pas un projecteur (vu qu'il n'est pas linéaire).
Concernant la preuve elle même,
- Le fait que si C est un s.e.v. alors pC est linéaire vient du fait que l'on sait (cours) que la projection orthogonale sur un s.e.v. est linéaire et qu'elle "minimise la distance" donc en fait elle coïncide avec "l'opérateur de projection" sur le s.e.v. ce qui montre bien que ce dernier est linéaire.
- Réciproquement, si pC est linéaire alors (b.a.ba sur les applications linéaires) pC(R^n) est un s.e.v. de R^n. Or on sait que, systématiquement, pC(R^n)=C.