Bonsoir !
On considère l'opérateur de projection sur un ensemble convexe fermé non vide de .
Soient et tels que soit la projection de sur .
Soit . J'ai établi que : . ( désigne le produit scalaire sur )
Questions :
1- Interpréter géométriquement cette inégalité variationnelle. Que peut-on dire quand C est S.E.V. ?
2- Montrer que C est l'ensemble des point fixes de . En déduire que et que est linéaire ssi C est un S.E.V.
1- J'ai fait un dessin et on constate que l'angle formé par ces vecteurs est optus. Est-ce qu'il y a autre chose de remarquable ? peut-on être plus rigoureux ?
Si C est un S.E.V, cela siginifie que la projection est définie comme étant Inf{d(u,v), v dans C}, non ?
2- Faut-il revenir sur le fait que C est convexe, en disant que pour tout t dans [0,1] et pour tout x,y dans C, tx + (1-t)y est dans C, ou bien c'est inutile ? Pour la suite, je sais que p²=p est une des caractérisations d'un opérateur de projection, mais comment le prouver simplement ? Enfin pour l'équivalence, je vois comment faire.
Merci beaucoup pour votre aide.