Projection, inversion

[capitaine nuggets]

Bonsoir, je bloque sur l'exo suivant :
On se donne un espace euclidien ; on note la norme euclidienne associée, un vecteur unitaire de , l'hyperplan affine d'équation et la sphère de diamètre . Pour tout , on note .

1°) Je devais calculer .
j'ai montré que .

2°) Je devais prouver que .
C'est fait.

3°) On demande de montrer que .
J'ai fait un dessin dans et je comprends le résultat qu'on doit obtenir, mais j'ai du mal à prouver cette égalité.
J'ai penser à introduire l'application définie par , mais sans résultat.

[Ben314]

Salut,
Ca se fait relativement façilement par équivalence :




(en rajoutant pour les deux dernières équivalences)

[capitaine nuggets]

Salut,
Ca se fait relativement façilement par équivalence :




(en rajoutant pour les deux dernières équivalences)

Ok, mais comme on part de , c'est pas la peine de préciser que x non nul ?

Enfin, je dois démontrer que pour , .
Mais j'ai du mal ; je suis parti de ça :

[Ben314]

Je pense pas que ce soit utile d'utiliser des inégalités. On doit s'en sortir directement.

Perso, comme Inv(x) et Inv(y) sont dans S, je commencerais bien par :

[Ben314]

Je pense pas que ce soit utile d'utiliser des inégalités. On doit s'en sortir directement.

Perso, comme Inv(x) et Inv(y) sont dans S, j'écrirais bien que :






EDIT : En fait, c'est trés con ce que j'ai écrit là.
Si tu développe directement ça te donne le bon résultat et ça prouve que l'hypothèse "x,y dans H" ne sert à rien, ce qui n'est pas étonnant vu que, (quasi) quelque soient x et y dans E, tu peut trouver un hyperplan affine H contenant x et y (sauf s'ils sont colinéaires et que E est de dimension 2)

[capitaine nuggets]

Je pense pas que ce soit utile d'utiliser des inégalités. On doit s'en sortir directement.

Perso, comme Inv(x) et Inv(y) sont dans S, j'écrirais bien que :






EDIT : En fait, c'est trés con ce que j'ai écrit là.
Si tu développe directement ça te donne le bon résultat et ça prouve que l'hypothèse "x,y dans H" ne sert à rien, ce qui n'est pas étonnant vu que, (quasi) quelque soient x et y dans E, tu peut trouver un hyperplan affine H contenant x et y (sauf s'ils sont colinéaires et que E est de dimension 2)

J'ai essayé de comprendre, mais je ne vois pas comment tu sors ta première égalité :

[Ben314]

[capitaine nuggets]

Ah oui, l'astuce où l'on ajoute et retire une certaine quantité.
Mais pourquoi 1/2 u ? Comment cela t'est-il venu ?

[Ben314]

Ah oui, l'astuce où l'on ajoute et retire une certaine quantité.
Mais pourquoi 1/2 u ? Comment cela t'est-il venu ?

En fait, ça ne sert à rien : si on développe bètement ça marche.

Et "ça m'est venu" tout simplement pour pouvoir utiliser dans le calcul le fait que Inv(x) et Inv(y) sont sur la sphère S de centre 1/2u : il faut donc "faire apparaitre" et .