Inversion de pôle

[goudou]

Bonjour à tous !
J'ai un petit soucis pour démontrer une proposition.

" L'inversion i(I, k) de pôle I et de rapport k est la transformation du plan qui à un point M, distinct de I, fait correspondre le point M’ de la droite (IM) tel que vect(IM).vect(IM') = k.

Entre un couple de points (M, N) et son image (M', N’), on a :M'N’ = (|k|MN)/(IM.IN) "

Je dois démontrer M'N’ = (|k|MN)/(IM.IN).

Je suis partie en disant que IM'=k/IM et IN'=k/IN car cela me semble proche, mais je ne vois pas comment introduire ce MN.
Je suis pourtant sûre d'être proche de la réponse :marteau: !

[Doraki]

Le plus simple est d'utiliser les complexes.

[phryte]

Slt.

pas comment introduire ce MN.

Pense à la soustraction de deux vecteurs !...

[goudou]

Phryte, je ne sais pas si j'ai bon, mais puis-je dire :

(vect)M'N'=(vect)IN'-(vect)IM'
= (k/(vect)IN)-(k/(vect)IM)
=(kvectIM-kvectIN)/(vectIN. vectIM)
=(k (vectIM - vectIN))/(vectIN* vectIM)
Or comme vect IM - vect IN = vect NM, on a
= (k vect NM)/ (vect IN * vect IM)

Ce qui donne avec les longueurs

= |k| MN / (IM.IN)

[Doraki]

Diviser par des vecteurs c'est rigolo mais ça existe pas donc c'est pour ça qu'utiliser les complexes c'est bien :
Si tu places l'origine du repère sur le point I,
en complexes, l'inversion c'est
Si tu notes et les affixes de M et N, calculer la distance M'N' revient à faire
M'N' = = |k|MN/IM.IN

[phryte]

Diviser par des vecteurs c'est rigolo mais ça existe pas

Tu as raison. Goudou doit faire sa démonstration avec des modules.
Mais ta solution est bien plus élégante.

[Maxmau]

Bj

Un triangle IMN
;) la bissectrice en I de ce triangle
Dans la symétrie orthogonale d’axe ;), M est transformé en M1 et N est transformé en N1
On a : IN1 = IN , IM1 = IM et MN = M1N1 ( en longueurs )

Montre que : vecteur M’N’ = (- k/(IM.IN)) vecteur M1N1

[goudou]

Et bien merci beaucoup de votre aide !
Je suis d'accord avec vous, la méthode en passant par les complexes est très facile et logique, mais ce que je ne comprends pas, c'est que le prof de maths qui m'a demandé de démontrer ça (en fait je prépare un mémoire et j'avais admis cette propriété, il m'a demandé de la démontrer) ,pour m'aider à débuter, m'a dit d'écrire que IM'=k/IM et IN'=k/IN
Cependant je préfère la méthode par les complexes (car de toute manière je ne vois pas comment la démontrer d'une autre façon, et puis dans ce mémoire, j'ai déjà présenté les complexes dans une partie précédente, donc cela me semble tout à faire démontrable de cette manière !)

[yos]

le prof de maths m'a dit d'écrire que IM'=k/IM et IN'=k/IN

Avec des longueurs c'est presque juste (manque les valeurs absolues à k).

[Pythales]

Inutile de passer par les complexes.

Les triangles et sont semblables soit
et ta formule ...

[goudou]

Je suis vraiment désolée de relancer le sujet, j'ai dû faire une pause dans mon mémoire car je prépare en même temps des examens, et donc je ne me replonge que maintenant dans ces fameuses inversions ...
Doraki, je me suis servi de ta méthode pour démontrer ma propriété, j'arrive à refaire seule le cheminement, cependant je pense qu'il faut que je démontre à nouveau ceci
" en complexes, l'inversion c'est "

L'inversion n'est plus étudiée en terminale, et je ne trouve nul part la démonstration de cette propriété :hein:
Si quelqu'un pouvait me lancer une piste ...
Merci !

[Doraki]

Quand tu regardes l'image M' d'un point M par l'inversion de centre 0 et de rapport k,
que peux-tu dire du module et de l'argument de l'affixe de M' par rapport à ceux de M ?

[goudou]

|zm| = k |zm'|
et arg(zm)=arg(zm') [pi]
??

[yos]

As-tu vu la méthode proposée par Pythalès?

[goudou]

Oui je l'ai vue, elle est simple également.
Je pense que je vais utiliser les 2 méthodes pour démontrer ma propriété

[goudou]

On part de vect(IM).vect(IM') = k
Cependant il faut qu'à la fin j'ai la notion de longueur et non plus de vecteur.

Est ce correct d'écrire
Soit l’inversion de pôle I et de rapport k ; on a :
IM’. IM=|k|
IN’. IN =|k|

[totoche54]

as tu essayé avec la formule de l'inversion
vect(IM')=k/IM^2.vect(IM)