Transmuée d'une inversion par une inversion

[Budin]

Bonjour,
Je trouve ce terme "transmuée", dans un Lespinard et Pernet (programme de 1962) à propos d'inversions. J'imagine qu'aujourd'hui, on parlerait de conjugaison.
On a une figure F, une inversion "i" la transforme en F'. Puis une inversion "j" transforme F en G, et transforme F' en K. La transmuée est la transformation qui envoie G en K. Le manuel affirme que c'est une inversion, en utilisant une caractérisation des inversions-symétries : ce sont les applications telles que, pour tout couple de points ce couple et le couple image sont cocycliques.
La démonstration du livre me parait extrêmement désinvolte : je ne la comprend pas.
De mon côté, j'ai essayé de démontrer en partant d'un couple de points de F. La figure est déjà plutôt rock'n roll. La conclusion ne me saute pas aux yeux. Si quelqu'un veut s'en mêler, merci d'avance.
La figure que j'ai réalisée suggère que les pôles de "i", de "j" et de la transmuée sont alignés. Je ne sais pas si c'est vrai, ou un coup du hasard.
J'ai en tête un cas de "transmuée" c'est lorsque, pour que les images de deux cercles aient le même rayon, on utilise une inversion "i" pour échanger les deux cercles, et une inversion "j" dont le pole est sur le cercle de "i". dans ce cas, la transmuée est une symétrie. J'aimerai prouver la réciproque : la transmuée est une symétrie si, et seulement si le pole de "j" est sur le cercle de "i"...
Bonne journée,
JP

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Ahh ! Lespinard et Pernet, ça me rappelle ma math-elem ...

La transmuée de par , c'est , un composé de trois inversions qui est donc une inversion.

Si est l'inversion par rapport au cercle , la transmuée est l'inversion par rapport au cercle image de par . L'alignement n'est donc pas par hasard, et cette transmuée est une symétrie si et seulement si le pôle de est sur .