Produit Scalaire

[nelloune]

Bonsoir je bloque sur un exercice qui est:

f(u,v)=xx'+2yy'-xy'-x'y

Déterminer une base orthonormée de pour ce produit scalaire.

2/ Soit u0=(1,1) déterminer pour tout u=(x,y) E l'expression du projeté orthogonal de u sur F= Vect(u0). En déduire:

d(u,F)=inf||u-v||

où ||.|| est la norme associée à f

Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Qu'as-tu essayé ?
Déjà, as-tu vérifié qu'il s'agit bien d'un produit scalaire ?
Ensuite, le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt te permet de fabriquer une b.o.n. à partir de n'importe quelle base, par exemple la base canonique.
Enfin, tu dois sans doute connaître le lien entre produit scalaire et projection orthogonale sur la droite vectorielle engendrée par un vecteur non nul.

[nelloune]

Bonjour,
Ce que j'ai trouvé pour la première question c'est:

f(x,y)=xx'+2yy'-xy'-x'y

Je change en remplaçant x et x' par x1 et x2 et y, y' par y1 et y2

f(x,y)=x1x2+2y1y2-x1y2-x2y1
Je fais ensuite la forme quadratique et je trouve:

q(x)= + 3x1x2

Après je fais la réduction de Gauss et je trouve

q(x)=-9 ( x1 + )^2-

Je prends ensuite X=(x',y') et je résouds le système

x'=f(x1)
y'=f(x2) c'est à dire

x'= x1 + x2
y'= x2

et je trouves ensuite x1=9x'+18y' et x2=4y'

Ce qui me fais une base B={(9,0) (18,4)}

Je ne sais pas si c'est ça
Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Ça ne va pas dès le début.
Tu as changé le f(u,v)=xx'+2yy'-xy'-x'y de ton énoncé en f(x,y)=xx'+2yy'-xy'-x'y, et après c'est la cata.
Visiblement u=(x,y) et v=(x',y') dans l'énoncé. Vérifie ! (La notation est d'ailleurs assez malheureuse.)
La forme quadratique associée à cette forme bilinéaire symétrique est
q(x,y)=q(u)=f(u,u).

Reprends tes calculs.

[nelloune]

D'accord je vais reprendre ça

[nelloune]

Je trouve la forme quadratique:

f(x,y)=xx'+2yy'-xy'-xy'

f(u,u)=xx+2yy-xy-xy
f(u,u)=+2 -2xy

[nelloune]

Je n'arrive pas à faire la réduction de Gauss je trouve des valeurs qui sont incohérentes.

[GaBuZoMeu]

OK.
Une petite chose : je vois que tu calcules la décomposition en carrés de la forme quadratique. C'est une bonne chose à faire. Et ça peut te donner une b.o.n. sans passer par Gram-Schmidt.
Si tu as écrit ta forme quadratique comme où est une base de l'espace des formes linéaires sur , alors la base antéduale est une b.o.n. pour .

[GaBuZoMeu]

Ta forme quadratique est correcte, et il n'y a aucun problème pour en faire la réduction de Gauss. Qu'est-ce qui t'arrête ?

[nelloune]

C'est le car quand j'essaie de faire un carré je trouve:

2(x +y) ^2

Ce qui est totalement faux

[GaBuZoMeu]

Voyons. Tu veux éliminer la variable d'abord.
Tu rassembles tout ce qui contient :

et tu complètes le carré (facile, ça fait quoi ?).

[nelloune]

Du coup ça me fait le carré
(x-y)^2

[GaBuZoMeu]

Bon, reprends ton calcul de réduction de Gauss et mène le jusqu'au bout.

[nelloune]

Je trouve la base orthogonal:
B{(1,0),(1,-1)}

[GaBuZoMeu]

1°) Quelle est la décomposition en carrés que tu as calculée ?
2°) Tu peux toi-même vérifier si ta réponse est correcte. Tu proposes une base . Est-ce que ? Est-ce que ?

[nelloune]

Les calculs que j'ai fais :

q(u)=
q(u)=

Après j'ai résolu le système suivant: avec X=(x',y') car c'est

x'=x-y
y'=-y

je trouve

x=x'-y
y=-y'

Je remplace dans l'équation x le y:

x=x'-(-y')
y=-y'

Je trouve alors (x,y)=(x'+y' ; -y') donc (x' ; 0) + (y' ; -y') c'est à dire la base B{(1,0),(1,-1)}

Je sais pas si le détail des calculs est bon

[GaBuZoMeu]

Fais la vérification que j'ai indiquée. Si ce n'est pas bon, vérifie soigneusement tes calculs.

PS un produit scalaire avec un carré de la norme qui n'est pas défini positif, ça fait un peu désordre, non ?

[nelloune]

Je trouve les bons résultats en faisant votre méthode.

[GaBuZoMeu]

Peux tu en dire plus ?

[nelloune]

Je trouve bien q(e1)=q(e2)=1 donc la base orthogonale est B={(1,0),(1,-1)}