Produit scalaire dans E3 (géométrie)

[busard_des_roseaux]

Bj,

je suis "habitué" au produit scalaire en dimension 2 ,je fais un cours
en dimension 2, en suivant le bouquin Nathan de classe de 1ère:

i) déf:


ii)
avec la définition des normes+Pythagore:


iii)
puis la bilinéarité.

iv)
la formule du cosinus dans une base orthonormale adaptée.
v)
la formule des projetés orthogonaux dans une base orthonormale adaptée

où sont les projetés des points C,D sur la droite (AB)

Il me semble qu'en dimension 3 (ou en dimension n>3)
les points (i),(ii),(iii) se généralisent sans difficulté.

on considère une famille libre.

pour (iv) et (v), le problème revient à définir le sous-espace vectoriel
orthogonal à Vect{u,v} en ne disposant que des propriétés (i),(ii),(iii).
je pense que ça ne pose pas de problème ?


autre question:
pour la (v) qui lie l'affine et le vectoriel


si on pose
on voit que l'on peut remplacer
par une somme dans le produit scalaire
de par .

où est colinéaire à
et dans l'orthogonal de

comment ça se passe en dimension 3 pour les points C et D ?
est-ce que leurs projetés orthogonaux sur la droite (AB)
donne un représentant de ? je ne vois pas trop car il me semble qu'il y a un effet de "torsion"


merçi pour vos explications.

[Maxmau]

Bj
Si p est la projection affine orthogonale sur la droite (AB) et p* sa direction
Tu as : p(C) = C1 = A + p*(vecteur AC) et p(D) = D1 = A + p*(vecteur AD)
D’où par soustraction : vecteur C1D1 = p*( vecteur CD)

[busard_des_roseaux]

merçi Maxmau,

ça y est , je viens de comprendre !!!

quand on considère deux points C et D et un axe (AB),

un point X mobile sur le segment [CD], quand X se déplace de C
à D, il y a bien un effet de torsion, mais cette torsion s'effectue
dans l'orthogonal de ,c'est à dire, le vecteur ,normé, subit une rotation dans l'orthogonal ( est le projeté). Ceçi ne "gêne" pas la linéarité de la projection. :zen: