PROBLEME DE VARIABLE OU DE CONSTANTE (LOGIQUE)

[léadra]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour un problème entre le statut de variable ou de constante en logique mathématique.
Ci-dessous, un évaluateur évalue la formule :


Pour comprendre le problème, en logique on distingue variables et constantes, on exige que les variables soient de type : x, y, z.
que les constantes soient de type : a, b, c...
D'autre part on nous met en garde de ne pas confondre les formes : Px, Py, Pz, qui sont des formes propositionnelles et les propositions de type : Pa, Pb, Pc, qui sont des propositions singulières.
Ainsi la forme propositionnelle Px à vocation à s'instancier en remplaçant la variable par une constante et on obtient par exemple : Pa.

L'évaluation aurait dû être :


Px s'instancie avec une constante en Pa (ligne2.)
puis s'instancie avec la même constante en (ligne 4.)
Au lieu de ça :
On a laissé en ligne 2. Px sous une forme non instanciée. Ce qui oblige à prendre "x" comme constante en ligne 4.
C'est cette utilisation contraire aux règles de formation qui me choque. Je voudrais savoir s'il s'agit d'une simplification pour faciliter l'évaluation ou si on peut vraiment traiter (en logique des prédicats) des variables x, y, z, comme des constantes individuelles.

Le problème se renforce quand on voit un évaluateur intégrer des variables dans le domaine.
Soit :
On nous dit que la formule est invalide et on nous donne comme contre-modèle :
Domaine : {a, y}
y : y
a : a
P : {a}
On voit que la variable "y" est traitée comme une constante et qu'on l'intègre même dans le domaine qui est censé être l'ensemble des constantes. Est-ce que vous considérez :
- Qu'en toute rigueur il est impropre d'identifier une variable à une constante, mais qu'on ne peut le tolérer qu'à titre de simplification d'écriture.
ou
- Qu'on peut tout à fait identifier une variable à une constante et la placer dans le domaine ?

Pourriez-vous donner quelques exemples et explications qui permettrait de clarifier cette confusion entre variable ou constante. Est-ce que ça vous choque ou pas ? Je remercie tous ceux qui participent.

[hdci]

Bonjour,

Juste un point : le "nom" qu'on donne aux choses est libre. Rien ne dit a priori que est une variable ni que est une constante.

Notamment, il n'y a aucune différence entre et

[Ben314]

Salut,
Je suis pas sûr de comprendre toute les notations/conventions que tu utilise.
Tu as un bout de cours (sur le net) avec des explications concernant justement ces notations/conventions ?

Sinon, à mon sens, un des trucs "de base" de la logique sous à peu prés n'importe quelle forme, c'est le syllogime :
(en essayant de reproduire tes notations et conventions)
et la contraposée te dit que c'est à dire si on prend .

Mais je suis pas certain du tout que ce soit ça que tu attend comme réponse...

[léadra]

Tout d'abord merci de vos réponses.
Bonjour hdci, je suis d'accord avec toi sur le fait qu'en mathématique une lettre peut être considérée indifféremment comme une variable, par exemple dans : a = b
a et b sont deux variables libres, qu'on peut remplacer par : x = y.
Il existe en logique formelle des règles de formation qui imposent une syntaxe particulière, ces "conventions" ne dépendent pas de moi, pour répondre à Ben314, j'ai donné plus bas un exemple provenant d'un manuel de logique qui spécifient le rôle des lettres x, y, z, et a, b, c, qui montre qu'elles ne sont pas interchangeables en logique tout au moins.
J'ai modifié mon premier message en donnant une évaluation personnelle pour le rendre plus clair.
Merci à tous ceux qui participent.

[hdci]

Pour moi cette notation "variables individuelles x,y,z..." et "constantes individuelles a,b,c..." est une convention propre à l'ouvrage de référence.

Eventuellement, on peut appeler "constante" une donnée connue mais à laquelle on donne un nom soit pour en faciliter la lecture (exemple : , c est une constante qui remplace 299 792 458), soit parce qu'il n'existe pas d'autre façon (exemple, qui n'est certainement pas égal à 3,14 ni 3,141592), soit encore "parce qu'on sait dans le contexte que c'est une valeur connue".

Par opposition à une variable qui doit être introduite par ou .

Ceci dit l'écart est ténu lorsqu'il s'agit de "constante non identifiée". Par exemple :

• soient et deux constantes réelles. Alors la proposition suivante est vraie (résolution d'une équation du 1er degré) :
  
  
• Mais rien n'interdit de récrire cela avec "que des variables" :
  

[Ben314]

@hcdi : je sais pas quel cours suis léadra, mais j'avais l'impression que c'était un truc réellement de "logique formelle" du type de ceux qu'on utilise ensuite pour faire des vérifications de preuve par ordinateur.
Et comme un ordi., à froid, c'est con comme une bille, ça n’attribue aucun "sens" aux expression qu'il manipule donc même un truc du style , qui est évidement profondément débile si on donne "du sens" à ce qu'on écrit, ben il faut quand même soit le démontrer à partir d'autre chose, soit le prendre comme axiome vu que l'ordi., il va sûrement pas dire "c'est débile et évident".

Ensuite, du peu que je connais concernant cette logique "archi hyper rigoureuse" succeptible d'être totalement informatisé, il me semble qu'on a fortement intérêt à "coder" deux types "d’entités" : variable ou constante.
Pour (vaguement) comprendre le bidule, tu as qu'à imaginer un logiciel capable de faire des vérification de preuve concernant les groupes quelconques et où la lettre désigne le neutre du groupe : tu va donc avoir des "phrases logiques" contenant cette lettre qui, par essence même n'ont pas à être quantifié : mettre devant un n'a pas de sens. Sauf que c'est pas un "super bon exemple" car le neutre d'un groupe est unique et est caractérisable donc ta proposition contenant la lettre (plus peut-être d'autres variable libres ou pas) tu peut l'écrire

où cette fois la lettre désigne bien une variable et pas une constante.
Mais si tu veut essayer "d'englober" un peu tout ce qui est imaginable comme truc axiomatique (du premier ordre) style groupe, anneaux, corps ..., c'est pas con de considérer que dans les données "de base", il y a non seulement des fonctions mais aussi des constantes [encore que, vu que tu va évidement accepter des fonctions avec plusieurs paramètres (comme les opérations + , x), tu peut aussi dire que les "constantes", c'est jamais que des fonctions avec zéro paramètres]

[hdci]

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[Ben314]

Oui, mais là, la notion de "constante" ou de "variable" dont je parle n'a absolument rien à voir avec celle du langage C (ou autre).

[hdci]

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[hdci]

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[Ben314]

Et pour voir un exemple (parmi beaucoup d'autres) où la notion de "constante" apparait, tu peut voir là :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_pr%C3%A9dicats
(Wiki : calcul des prédicat)

Donc je le redit : j'y connaît pas grand chose et je pense très fort qu'on peut systématiquement se passer des constantes :
- Soit en considérant que toutes les constantes "intéressante" qu'on va utiliser dans une théorie quelconque seront toujours "caractérisées" par une propriété (comme le neutre d'un groupe) ce qui permettra de ne pas les définir en temps que constante.
- Soit plus bêtement en considérant qu'elles font partie de la classe des "fonctions" (avec zéro arguments).
MAIS, il n'empêche que dans tout les truc que j'ai lu concernant la logique du premier ordre (qui, selon wiki, est exactement la même chose que le "calcul des prédicats"), j'ai toujours vu les "constantes" comme faisant partie du langage "de base".

EDIT : En fouillant dans ma lointaine mémoire, je me rappelle d'un prof. qui nous avait dit que normalement, un corps, on devrait plutôt le noter [et pas uniquement ] du fait qu'un morphisme de corps, il faut que ça vérifie et que ça ne découle pas des autres propriétés de stabilité (contrairement au fait que qui, lui, il découle de la stabilité de +).
Donc dans le cas des corps, si tu veut définir les morphisme comme étant "les applications qui préservent la structure", il faut que la constante "fasse partie" de la structure.

[hdci]

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[Ben314]

Alors il faudrait que tu lise un peu mieux vu que la notion de "constante" apparaît dans Définition
https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_de ... A9finition

Et sinon, je ne pense pas que le terme de "constante" soit à réserver à des truc "tel qu'il en existe un unique".
Par exemple, tu peut tout à fait imaginer une structure du style "monoïde unifère" qui correspond à un monoïde possédant au moins un neutre et où tu t'est donné comme constante au début un des neutre du monoïde.
Et dans ce cas, le choix du neutre va être important, par exemple pour définir la notion de morphisme : un morphisme de M1 dans M2, ça devra (par définition) envoyer le neutre choisi de M1 sur le neutre choisi de M2.

Un autre exemple qui me vient à l'esprit où il est important de savoir si un élément donné (= une constante) fait ou ne fait pas parti de "la structure" : celui des anneaux unitaires.
Si tu prend l'ensemble des matrices 2x2 (à coeff dans R par exemple), c'est un anneau unitaire.
Si tu prend le sous ensemble formé des matrices de la forme , c'est aussi un anneau unitaire avec la même addition, la même multiplication, mais pas avec la même unité que celui de départ.
Est-ce un "sous anneau unitaire" ou pas ?
Si ta structure, c'est juste (A,+,x) [+ les axiomes dont celui demandant l'existence d'un neutre pour x] , alors oui, c'est un sous anneau vu que le + et le x du sous ensemble sont bien les restrictions du + et du x du gros ensemble.
Par contre, si ta structure, c'est (A,+,x,), alors non, ce n'est pas un sous anneau pour cette structure là vue que ce n'est pas la même unité.
Bilan : les structures (A,+,x) et (A,+,x,) ne donnent pas les mêmes sous structures (ni les mêmes morphismes bien sûr).

[hdci]

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[Ben314]

Pour ton exemple sur les matrices et anneaux unitaires : je pense que tu confonds la "constante dans un ensemble" qui est parfaitement identifiée par "il existe un unique truc appartenant à machin et vérifiant..." (donc, une abréviation d'une formule, finalement ; à noter, si on change le "vérifiant..." évidemment on trouve une autre constante, c'est ce que tu fais avec tes différents anneaux, tu changes la condition définissant la constante), avec la notion de "constante" dans le cadre de la théorie de la logique du premier ordre (symbole appartenant à la signature décrivant ladite logique).

a) Et j'aimerais bien que tu m'explique en quoi je "change la condition définissant la constante".
N'est-elle pas, dans les deux cas, définie par ?
Pour moi LA différence, c'est que soit est une constante du langage et tu n'a pas à quantifié le de cette formule, soit ce n'en est pas une et tu doit mettre devant un .

b) Bis et répéta (ça donne de plus en plus l'impression que tu lit pas ce que j’écris) : où as-tu lu que les constante qu'on utilise en calcul des prédicats devaient forcément être définies par du "il existe un unique blablabla" ?

c) Enfin, le truc n'a rien à voir avec le fait de "confondre" quoi que ce soit. Ça à a voir avec le fait de trouver une réponse claire et carrée à la question "est ce que mon bidule est ou n'est pas un sous anneau unitaire de l'autre" et bien évidement pourquoi c'en est ou ce n'en est pas un (avec bien sûr un argument autre que "y'a qu'à l'apprendre par cœur").
Alors selon toi, c'est ou c'est pas un sous anneau unitaire ? et pourquoi ?

[hdci]

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[Ben314]

Je ne vois pas en quoi le fait que ce soit un sous-anneau unitaire ou pas est en relation avec la notion de constante dans la logique du premier ordre : c'est complètement hors sujet.

Dans ce cas là, si même ça tu voit pas le rapport, effectivement, je pense que c'est pas la peine que je me fasse c.. à essayer de t'expliquer...

On va dire que je fait UN DERNIER ESSAI :

la seule définition s'exprime totalement en logique du premier ordre appliquée à la théorie des ensembles avec des formules

NON, sûrement pas vu que si "toute la structure" était contenue dans + et x, ben ça signifierais qu'il n'est pas la peine de préciser que 1A doit être dans B pour que B soit un sous anneau de A ni que f(1A)=1B pour que f soit un morphisme.

[hdci]

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[hdci]

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[léadra]

Bonjour,
J'étais content de voir 18 réponses, jusqu'à ce que je m'aperçoive que c'était juste une dispute entre hdci et Ben314 qui n'a rien à voir avec le sujet.
On a tort de chercher à avoir raison en mathématique, parce que la vérité n'y est que relative, relative à un système.
Vos messages m'ont confirmé qu'il y a un fossé, voire une méfiance entre le mathématicien et le logicien (je ne suis ni l'un ni l'autre).
Ben314 a bien présenti :
1° qu'il s'agit de logique formelle
2° qu'il s'agit de l'évaluation d'une formule (méthode des arbres)
la question n'a donc de sens que relativement à cette discipline. Dans celle-ci la distinction entre constante et variable et fondamentale parce qu'elle modifie le sens de l'expression, à titre d'exemple je citerai Denis Vernant :
"Soit une proposition singulière P(a) où a est une constante d’individu, i.e. le nom propre d’un individu singulier disponible dans un domaine d’individu : Di : { a, b, …}. Cette proposition possède une valeur de vérité V ou F.
On obtient la fonction propositionnelle P(x) en substituant à la constante d’individu une variable d'individu (x) qui prend ses valeurs dans le domaine d’individu. Si une proposition a une valeur de vérité, une fonction propositionnelle n'a jamais de valeur de vérité. Elle n’est qu’un schéma d'engendrement des propositions."

On voit que P(x) n'a pas le même sens que P(a), la première est un "schéma d'engendrement" qui n'a pas de valeur de vérité, la seconde est une proposition vraie ou fausse.

Comprenez bien que cela n'a de sens que relativement à la logique formelle. Pour revenir au sujet, il pourrait se simplifier : A-t-on vraiment le droit d'instancier une formule avec une variable (en logique formelle et dans le cadre d'une évaluation) ?
Pour moi c'est juste une simplification abusive pour faciliter l'évaluation, j'aurais aimé tomber sur quelqu'un qui me le confirme. J'ai posté ici, parce qu'il n'existe pas à ma connaissance de site spécialisé dans la logique formelle.
Si toutefois quelqu'un à une opinion sur la question, qu'il nous éclaire de ses lumières. Merci.