Problème équation cartésienne

[Fr4NgUs]

Bonjour,

J'ai donc résolu le système différentiel suivant :
x' = 5x + y
y' = 2x + 4y

j'obtient la loi horaire suivante : M(t) = Ae^3t (1 -2) + Be^6t(1 1) dans la base canonique
et M(T) = Ae^3t(1 0) + Be^6t(0 1) dans la base de diagonalisation.

Cependant il me demande ensuite d'en déduire une équation cartésienne des trajectoires dans la base canonique et la base de diagonalisation et je ne vois pas trop comment faire.

Merci à vous.

[raph107]

Bonjour,

J'ai donc résolu le système différentiel suivant :
x' = 5x + y
y' = 2x + 4y

j'obtient la loi horaire suivante : M(t) = Ae^3t (1 -2) + Be^6t(1 1) dans la base canonique
et M(T) = Ae^3t(1 0) + Be^6t(0 1) dans la base de diagonalisation.

Cependant il me demande ensuite d'en déduire une équation cartésienne des trajectoires dans la base canonique et la base de diagonalisation et je ne vois pas trop comment faire.

Merci à vous.

Tu exprimes les coordonnées (X(t) ; Y(t)) du point M(t) en fonction de t, et en éliminant t, on obtient l'équation cartésienne.
Dans ce qui suit, je suppose que tes résultats sont bons
Dans la base canonique:
X(t) = Ae^3t + Be^6t
Y(t) = -2Ae^3t + Be^6t

On en déduit:
2X(t) + Y(t) = 3Be^6t
X(t) - Y(t) = 3Ae^3t

En remarquant que e^6t = (e^3t)² et en élevant au carré les 2 membres de la 2ème équation on aboutit à l'équation cartésienne de la trajectoire:
9A²(2X + Y) - 3B(x - Y)² = 0

Pour la 2 ème, tu utilises la même démarche et les calculs sont encore plus simples

[Fr4NgUs]

D accord merci beaucoup pour ton aide précieuse.