Probas

[zephira]

Bonjour, je planche sur un probleme auquel je crois avoir trouvé la réponse, néanmoins, n'ayant pas de corrigé et trouvant le résultat bizarre, j'aimerai avoir la confirmation de vos esprits érudits.
C'était un exercice d'un sujet d"examen de L3-maths appliqué peu clair, je vous donne le texte tel quel :

On considere une population de pecheur.
Un pecheur individuel à la possibilité de pecher un nombre aléatoire N de poissons où N suit une loi de poisson (comme par hasard) de paramètre teta >0.
Si l'on tire au sort un pécheur dans la population considérée, le paramètre teta, associé à ce pécheur est la valeur d'une certaine variable aléatoire Y, qui suit une loi gamma (alpha, beta) où alpha est dans N etoile et beta >0 sont fixés.

1) Quelle est la loi de probabilité du nombre aléatoire C de poissons péchés par un pécheur tiré au sort?

2)calculer pour u>0 et v>0 Espérance(exp(-u*C-v*Y))

3) Calculer l'espérance et la variance de C!

[alavacommejetepousse]

bonsoir pas tout comprsi

je résume

Y est le numéro du pêcheur qui va pêcher

Y a une loi connue
un pêcheur donné disons le 1 pêche un nombre N de poissons N de loi de poisson


C est le nombre de poissons pechés par le pêcheur 1
alors:
P(C=k) = P(N=k)P(Y=1)

[zephira]

tu ne peux pas résonner comme ca car P(Y=1) = 0 vue que Y est une variable a densité continue.

En fait tu ne peux pas trouver la loi de C directement, seulement tu sais que P(N=k)=P(C=k, sachant que Y=teta)

(si mon interpretation de l'énoncer est bonne) pour un teta fixé.

Tu retrouves alors la densité de C en posant que :
densité de C sachant que Y= teta, notée f = densité du couple (C,Y) / densité de Y

or f=densité de N = somme_sur_n((teta^n)*exp(-teta)*delta(n)/n!) ou delta(n) représente la mesure de dirac au point n
donc tu retrouves la densité du couple (C,Y)

Que tu intègres par rapport a y grace a fubini.
Et tu trouves qqch cm (beta+1)^alpha/alpha! * sum_sur_n((alpha+n)!/n! * B^(-n-a)

Et la question 2 je capte pas la rapport, donc je pense que je me trompe qq part.

[alavacommejetepousse]

en effet Y n est pas discrete

maizalors C est à densité???

[wserdx]

Il me semble que

avec

et

Je trouve (si je ne me trompe pas)

Après, je ne vois pas comment faire les autres questions.
ça peut aider?

[zephira]

@ alavacommejetepousse : Toute variable aléatoire(discrete ou non) possede une densité. Elle est continue par morceaux dans le cas non discret ce qui n'est pas le cas dans le cas discret. Pour une variable discrete Y tu poses que sa densité vaut :
Somme_sur_n (P(Y=n)*delta(n)) ou delta est la mesure de dira au point n c'est a dire elle vaut l'infini en n et 0 ailleurs. Quand tu integres cela sur R, tu trouves donc sum_sur_n(P(Y=n)) qui fait bien 1 par définition.

@wserdx oui c'est ca! C'est effectivement ce que je trouve mais alors apres je ne vois pas le rapport avec la question 2 qui semble etre la transformée de laplace du couple (C,Y)..