Probas(traversée de la chaussée par un piéton)

[robby3]

Bonjour tout le monde,
j'aurais besoin qu'on m'aide pour le début de cet exo:

Un piéton souhaite traverser la chaussée sur un passage clouté
Les voitures passent sur le passage clouté aux instants ,...
Nous supposerons que les sont des variables aléatoires indépendantes integrables de meme loi de densité f à support dans R+.
Pour etre sur de pouvoir passer sans risque,le piéton a besoin d'un temps t entre le passage de deux voitures.
Le nombre de voiture qu'il laissera passer est donc
et son temps d'attente est avec si
on note et .

a)Préciser la loi de et calculer
b)Montrer que
"l'énoncé est désormais complet!"
merci d'avance de votre aide!
je suis preneur de toute idée!

[nuage]

Salut,
pour le a) N+1 suit une loi géométrique de paramètre .

Sauf erreur de ma part.
Pour le b) l'espérance d'une somme est la somme des espérances.

[robby3]

Salut Nuage :we:
tu peux m'expliquer un peu plus pourquoi N+1 suit une loi géométrique de parametre p?
sinon pour la b)
je sais bien mais on a
..aprés je vois pas?
:hein:

[nuage]

pour le a :
N+1 est le temps d'attente d'un évènement de probabilité p.

[robby3]

ok d'accord!
pour b)

comment montrer que

[alavacommejetepousse]

Bonjour tout le monde,
j'aurais besoin qu'on m'aide pour le début de cet exo:

Un piéton souhaite traverser la chaussée sur un passage clouté
Les voitures passent sur le passage clouté aux instants ,...
Nous supposerons que les sont des variables aléatoires indépendantes integrables de meme loi de densité f à support dans R+
Le nombre de voiture qu'il laissera passer est donc
et son temps d'attente est avec si

on note et .

a)Préciser la loi de et calculer
b)Montrer que

merci d'avance de votre aide!
je suis preneur de toute idée!

bonjour

qui est t dans l'énoncé ?

[robby3]

ah oui pardon!
t est le temps entre le passage de deux voitures.

[alavacommejetepousse]

là sérieusement je ne comprends plus;
c'est peut-être moi mais pourrais tu donner l'énoncé intégral ?

[robby3]

voilà j'ai éditer mon message de départ,l'énoncé est complet.

[alavacommejetepousse]

ha voila t est donc la durée de traversée du piéton ...ce n'était pas limpide

[alavacommejetepousse]

j'ai fait le a je suis d'accord avec nuage ouf
le b est la formule de l'espérance conditionnelle avec le sce {N=n} n décrivant l'ensemble des naturels

[robby3]

l'espérance conditionelle?
tu peux m'expliquer davantage s'il te plait?

[alavacommejetepousse]

ah
une version simple

T une var discrète N une var prenant les valeurs 1 et 2
alors
E(T) = E(T lN= 1) P(N= 1) +E(T l N= 2) P(N= 2)

sous réserve d 'existence

[robby3]

ok donc là
E(T)=E[T_1|N=1].P(N=1)+...+E[T_n|N=n].P(N=n) c'est bien ça?
que fait-on ensuite? :hein:

[alavacommejetepousse]

attention

ici la somme porte sur une infinité de termes !!
E(T) = E(T l N= 1 ) P(T= 1) +...

avec bien sûr Tl N= 1 = T1 etc

dans la formule donnée par l'énoncé tu as

E(T.1{n=n} ) que je note (E(TY) avec Y=1{N=n} var de bernoulli
si on applique la même formule de l'espérance conditionnelle on a

E(TY) = E(TY l Y=1) P(Y=1) +E(TY l Y=0)P(Y=0)

or E(TY l Y=0) = 0

et E(TY l Y= 1 ) = E(T1+...+Tn)
et P(Y=1) = P(N=n)
on a donc exactement le même terme que dans l'autre formule

et le résultat

[robby3]

ici la somme porte sur une infinité de termes !!

justement T s'écrit comme somme finie de 1 à N des Tk...non?

d'aprés ce que tu écrit ensuite,on va avoir
et la somme de à l'infini de cette chose ça se serait ?

[alavacommejetepousse]

T est la somme de k=1 à N avec N aléatoire à valeurs dans l'ensemble des naturels

et oui pour la fin c'est ce que j'ai écrit

[robby3]

ok mais excuse moi d'insiter...
pourquoi ??
je le "vois" pas!
ça vient encore de l'espérance conditionnelle ? :triste:

[alavacommejetepousse]

ouic'est ce que j'ai démontré en premier

avec le système complet d'événements

{N=1},{N=2},... (il y a une infinité d'événements dans ce sce)

[nuage]

Salut,
je reviens un peu tard, toutes mes excuses.
Je crois que la démonstration de par alavacommejetepousse est convaincante.
Pour aller plus loin
et en vertu de la formule des probabilités conditionnelles.

Sauf erreur de ma part.