Probas

[Anonyme]

bonjour, j'ai quelques problemes a resoudre cet exercice:
une urne contient n boules numerotees de 1 n. on tire les boules une à une jusqu'a ce que les boules de numéros 1, 2 et 3 soient sorties.
1) calculer la probabilité que les boules numeros 1, 2 et 3 sortent consecutivement dans cet ordre.
2) calculer la probabilité que les boules de numeros 1, 2 et 3 sortent dans cet ordre .
je vous remercie

[sirglorfindel]

Pour ta première question :
j'ai d'abord raisonné sur des petits nombres (pour que ce soit plus facile et plus concret) et ensuite j'ai généralisé.
Je te donne tout de suite la partie générale :
on suppose que l'on tire k boules non numérotées 1,2 ou 3 en premier et ensuite 1, 2 et 3 dans cet ordre. On calcule cette proba et on ajoute tout de k=0 à (n-3) pour avoir la probabilité totale.
Il y a C^(k)_(n-3) (k parmi (n-3) ; c'est une combinaison mais je ne sais pas trop comment la noter ici) possibilités de choisir k boules parmi les (n-3) restantes (je considère que je ne tire pas 1,2 ou 3) et il y a k! façons de ranger ces boules.
On aura donc k!*C^(k)_(n-3) possibilités et chacune a une probabilité de sortir de 1/[n*(n-1)*..*(n-(k+3)-1)]=(n-k-3)!/n! (probabilité de tirer les (k+3) boules)
On a donc la probabilité de tirer k boules autres que 1,2 et 3 suivi de 1,2 et 3 dans cet ordre égal à :
k!*C^(k)_(n-3)*(n-k-3)!/n! = k! * (n-3)!/[k! * (n-3-k) ! ] * (n-k-3)!/n!
Tu simplifies et tu obtiens :
(n-3)!/n!

On fait la somme de k=0 à (n-3) et on trouve :
(n-2)!/n!=1/(n*(n-1)).

Pour la question 2, il y a une petite variante même si le raisonnement de base est le même :
j'ai toujours k!*C^(k)_(n-3) possibilités de ranger k boules parmi les (n-3) restantes (je ne compte pas encore les 1,2 et 3).
Ensuite, je regarde les façons de placer les 1 et 2 parmi les k autres boules que j'ai déjà rangé (la boule 3 est forcement en dernière place..) : pour le 1, j'ai (k+1) possibilités de placement (en 1°place, en 2°,... en (k+1)° place). Une fois que j'ai placé le 1, il me reste à placer le 2 à partir de là où j'ai mis le 1.
Si le 1 est à la 1°place, le 2 a (k+1) possibilités
Si le 1 est à la 2° place, le 2 a k possibilités
Si le 1 est à la 3° place, le 2 a (k-1) possibilités .......
Si le 1 est à la (k+1)° place, le 2 a 1 possibilité.
On a donc (k+1)+k+(k-1)+...+1=(k+1)(k+2)/2 possibilités.

La probabilité d'obtenir chacun de ces tirages est la même qu'à la question 1.

On a donc la probabilité (avant de faire la somme de k=0 à (n-3)) :
(n-3)!/n! * (k+1)(k+2)/2

On fait la somme (tu dois utiliser les sommes de k et les sommes de k²)
Au final, j'ai trouvé que la probabilité est toujours 1/6... quelque soit le nombre n de boules dans l'urne au départ !

[yos]

On a répondu à cela il y a quelques jours :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=12849