Probabilités - Lancer de dès

[s.wilks]

Bonjour.

Je me permets de vous soumettre un nouveau problème et de me confirmer ou m'infirmer ma méthode.

"On jette une paire de dès bien équilibrés. Calculer la probabilité que la somme des faces obtenues soit supérieure ou égale à 10 sachant que l'un au moins des dès a donné 5."

Voici mon raisonnement:
Soit A = {(k1;k2) tels que k1 + k2 >=10 },
soit B = {(k1;k2) tels que k1 = 5 ou k2 = 5 }.
Soit B1 = {(k1;k2) tels que k1 = 5 },
B2 = {(k1;k2) tels que k2 = 5 },
B3 = {(k1;k2) tels que k1 = 5 et k2 = 5 }.

Alors (B1; B2; B3) forment un système d'événements complets.

D'où p(A/B) = p(A/B1) + p(A/B2) + p(A/B3)
avec p(A/B1) = p({5;6}) = 2/6 = 1/3,
p(A/B2) = p({5;6}) = 2/6 = 1/3,
p(A/B3) = p({k1 = k2 = 5}) = (1/6)*(1/6) = 1/36

donc p(A/B) = (1/3)+(1/3)+(1/36) = 14/36.

Voilà.
Merci d'avance pour vos réponses.

s.wilks

[chan79]

s.wilks

Bonjour
Est-ce qu'il ne serait pas aussi simple de diviser le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles ?
Cas favorables (5,5) (5,6) (6,5)

[C.Ret]

Bonjour,

Il y a d'autres façons d'appréhender ce type de problème.


Comme le nombre de face de chaque dé est limité à 6, il est facile de représenter sous la forme d'un tableau leur somme : c'est une des façon que je préfère car elle illustre bien graphiquemetn ce qui se passe.


Soit A et B les valeur de deux dés, le tableau suivant donne l'ensemble des 36 combinaisons possibles:

Code: Tout sélectionner

        A:
    1  2  3  4  5  6
  1 #  #  #  #  #  #
  2 #  #  #  #  #  #
B:3 #  #  #  #  #  #
  4 #  #  #  #  #  .
  5 #  #  #  #  ok ok
  6 #  #  #  .  ok  .


Les cases # correspondent à une valeur de (A+B) < 10.
Les cases . correspondent à une valeur de A(+B) au moins égale à 10.
Les cases ok sont celles où la somme fait au moins 10 et où l'un des deux dés affiche 5.


On constate que la grande majorité des lancé des deux dés conduit à un résultat inférieur à 10 (cases marquées d'un #).

On constate que la proportion de case où apparait un ok est 3/36.

La probabilité que la somme des deux dés soit d'au moins dix avec un des dés (ou les deux) affichant 5 est donc de 1/12.

On voit aussi facilement que si seulement un seul des deux dé doit afficher 5, il n'y a que 2/36 posibilités.

P.S.: Pardon Chan79, je n'avais pas vu ta réponse !

[Iroh]

On peut considérer deux cas:

Salut,
1) On suppose que les deux dés sont différentiables (un dé rouge et un blanc). On va noté le résultat du lancé par un couple (i,j) où i correspond à ce que le dé rouge donne et j le blanc. L'ensemble de tous les résultats possible vaut:

Tous les résultats sont équiprobables: . On a donc que pour tout événement A: P[A] =

Si on reprend ta notation: A = et
B = (ou non exclusif)

On a: A = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,6), (6,4), (6,5)} et B = {(1,5), ..., (6,5), (5,1), ..., (5,4), (5,6)}

Par la définition de probabilité conditionnelle:

2) Si on suppose que les dés sont identiques (deux dés rouges). Les résultats sont alors des ensembles {i,j} (que l'on va quand même noté (i,j)). L'ensemble de tous les résultats possibles vaut:

Ici tous les résultats ne sont pas équiprobables: on a deux fois plus de chance d'avoir (1,2) que (5,5).
Si on note: p = P[{(i,i)}] (pour ), on a:
. En complétant on arrive à: 2p*15 + p*6 = 1, donc p = 1/36.


On garde les même définition de A et B (mais pour un ensemble différent):
A = et
B =

On a que A = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,6)} et B = {(1,5), ..., (6,5)}

On a:

Je calcule juste le numérateur: (car union disjointe)
Comme P[({5,6})] = 2*p et P[{(6,6)}] = p, on obtient: 2*p + p = 3p = 3/36.



Les résultats obtenus aux points 1) et 2) doivent être identiques.

[s.wilks]

Bonjour à tous et notamment à tous les trois, chan79, C.Ret et Iroh.

Je vous remercie tous les trois pour vos réponses.
Merci en particulier à toi chan79 pour la rapidité de ta réponse, merci à toi C.Ret pour la simplicité de ta solution et merci à toi Iroh pour l'exhaustivité de ta solution.

s.wilks