Probabilités de lancer de dés à 40 faces

[beagle]

Salut nodgim, je parlais de l'approximation faite entre:
-la valeur théorique, exprimé en chiffres par Ben314, en formule par Léon
-la valeur théorique également du problème du collectionneur de vignettes quand à espérance et écart-type

et l'utilisation de espérance et ecart-type pour se ramener à loi normale courbe de Gauss pour alors approximer sup ou égal 95%

l'approximation de la loi binomiale et autres lois (mais pas toutes, pas Cauchy, hein Dlzlogic!) par la loi normale marche d'autant mieux que n est élevé il me semble.(ne serait-ce déjà pour transformer des lois discrètes en continues)

Mais je ne pense pas pouvoir donner d'exemples car j'ai trop d'approximation il me semble sur écart type j'utilise du npi sur racine carrée de 6 alors que c'est inf à ce truc...

[leon1789]

l'approximation de la loi binomiale et autres lois (mais pas toutes, pas Cauchy, hein Dlzlogic!) par la loi normale marche d'autant mieux que n est élevé il me semble.

Bonjour,
certaines lois (exemple : binomiale, poisson, khi2, ...) s'approximent par une loi normale, mais pas toutes les lois, loin de là, et sans aller chercher Cauchy (exemple : uniforme, exponentielle, ...)

Le n élevé dont tu parles, c'est l'indice n de la moyenne Y = (X1+...+Xn) / n^0.5
et le coup de l'approximation d'une loi par une loi normale , c'est de la loi de Y dont il s'agit, pas n'importe quelle loi.

L'approximation d'une loi L par une loi normale est bonne quand L est "additive quelque part" (binomiale, poisson, khi2, gamma, ...)

Dans le contexte de notre expérience aléatoire avec le dé à 40 faces, la loi suivie n'est pas du tout une loi normale. J'ai les mêmes caractéristiques que vous sur cette loi :
Médiane = 162
Espérance de la loi = 171.1417...
Ecart-type de la loi = 49.206...
Intervalle de fluctuation à 95% = [ 92 , 270 ]

Le problème parle de trouver la borne verticale droite (n=264) de la surface orange qui représente 95% de la surface sous la courbe (le point de départ à gauche étant d'abscisse 0),

vous parlez de la borne verticale droite de la surface verte qui représente 95% d'une courbe gaussienne (5% unilatéral à droite), c'est quand même pas pareil...

Les queux ne sont pas du même type :
pour la loi de l'expérience
pour la gaussienne (bcp plus proche de 0 quand n est grand)

[beagle]

Merci Léon pour cette réponse superbement illustrée.
Dans l'après-midi et la soirée me chagrianait d'avoir dit que n= 40 était petit, et que cela irait sans doute dmieux avec du n plus grand, puisque ce n=40 était "unitaire", et j'avais le sentiment qu'il fallait un "effectif n" élevé, enfin bref, de toutes façons ce n'est pas approximable par loi normale.

Je reviens expliquer aussi la confusion entre loi binomiale approximable par loi normale, versus le Dlzilogicien résultat d'expérience se distribuant comme du Gauss. Puisque le résultat tiré d'une loi de proba pourtant uniforme donne des résultats qui se distribuent comme Gauss, et c'est vrai d'un certain nombre d'autres lois me semble-t-il, alors que le contre exemple le plus facile à trouver était la loi de Cauchy, là les résultats n'auront pas une distribution gaussienne.
Bon cela fait bien trop longtemps que vous avez viré Dlzilogic, mince j'arrive même plus à l'écrire!

[Ben314]

avec un seul terme de pris ma soustraction était "trop forte" de très peu
avec deux termes la soustraction devient un peu trop faible, mais on est déjà avec une grosse précision
1 -[40x(39/40)^263 - C(40,2)x(38/40)^263)] = 0,949761

- En fait quand tu approxime , ça veut dire que tu estime que les événement "je n'ai jamais obtenu la face numéro X" sont quasi disjoints donc que la proba. de l’événement "il y a une des face que je n'ai jamais obtenue" est quasiment égale à la somme des proba. des "je n'ai jamais obtenu la face numéro X".
- Si tu "garde deux termes" : là, ça me semble pas bien clair à quoi ça correspond "concrètement" comme estimation.
- Sinon, un truc qui peut venir à l'esprit, plutôt que de supposer les "je n'ai jamais obtenu la face numéro X" sont "quasi-disjoints", c'est de les supposer "quasi-indépendants" donc la proba d'avoir obtenu chaque X au moins une fois, c'est le produit des proba des "j'ai obtenu la face X au moins une fois" ce qui donne .
C'est plus précis que ta formule à l'ordre 1 et moins précis que celle à l'ordre 2, mais ça a le bon goût de ne contenir qu'une seule fois la variable donc de s'inverser facilement : .
Vu l'hypothèse de "quasi indépendance" faite, c'est évidement valable uniquement pour les (et/ou ) "grand".
Et pour , ça donne .

EDIT : En fait, même pour "pas super proche de 1", c'est pas la catastrophe : et en fait donc on est pas si loin que ça du compte...

[beagle]

Bonjour Ben314,
le matin même du fil de discussion j'ai balancé une formule horrible,
j'espère que peu de personnes sont passées voir.
ensuite arrive deux interprétations -résultats, LB2 et toi,
donc je recommence, ça passait pas en direct, j'essaye en indirect et en approximatif "pour voir"
et sans trop d'effort on tombe très proche de ton résultat.
Alors en général je suis assez content lorsque je suis en cohérence avec Ben314 ou Léon1789
mais c'était une contribution modeste.

Néanmoins la logique derrière semble ressembler à des trucs que vous, les grands, faites, alors je veux bien si tu peux me donner plus de chiffres après la virgule , je veux bien développer.
Tu as donné pour le moment :"Après 263 lancers, la proba d'avoir obtenu chacune des les 40 faces au moins une fois est de 94,975 %
Après 264 lancers, la proba d'avoir obtenu chacune des les 40 faces au moins une fois est de 95,098 %"

Mais il ne s'agissait pas de "théoriser" l'approximatif comme tu sais le faire!

[beagle]

Pour répondre à Léon,
je découvre le problème du collectionneur de vignettes le lundi 02 Juillet.Je ne connaissais pas avant.
Je relis alors l'intervention de LB2, je comprends son espérance et son écart-type mais je ne comprends absolument pas comment avec un écart-type de 50 il rajoute juste 13 à l'espérance de 171, donc je réponds (bêtement, à la no-brain de Ben314), ben si, ça va le faire, on va pouvoir le faire de cette façon.
Ensuite je suis un peu ennuyé car j'ai pas des formules nettes, l'écart-type dans wiki est mis inf à npi sur…
donc je ne sais pas montrer ou invalider le truc.
Disons que je n'aime pas beaucoup ètre à 255 voir un peu moins pour du 264, euh pour un mateux j'imagine que c'est pas terrible.Donc j'ai passé la main.

Ensuite c'est vrai que j'ai fait la confusion entre lois qui peuvent ètre approximées par loi normale et le fameux truc dizlilogique , les résultats de tirages se distribuent façon gauss.Donc c'est fort heureusement que tu me reprends pour dire non, on ne va pas calculer des probas uniformes en utilisant la courbe de Gauss.
Mais c'était la raison de ma citation de la loi de Cauchy, puisque j'avais bossé à l'époque pour donner à Dlzilogic des résultats de Cauchy. J'avais pris des résultats de Gauss issus du tirage du loto (donc loi uniforme) et j'avais scindé en deux parties pour faire une division, puisque deux lois normales qui se divisent donnent du Cauchy.Bon c'est ce truc que j'avais en tète.

[leon1789]

Je reviens expliquer aussi la confusion entre loi binomiale approximable par loi normale, versus le Dlzilogicien résultat d'expérience se distribuant comme du Gauss. Puisque le résultat tiré d'une loi de proba pourtant uniforme donne des résultats qui se distribuent comme Gauss, et c'est vrai d'un certain nombre d'autres lois me semble-t-il, alors que le contre exemple le plus facile à trouver était la loi de Cauchy, là les résultats n'auront pas une distribution gaussienne.

Dlzlogic parlait simplement du théorème central limite (TCL) qui, effectivement, demande en hypothèse une suite de variables aléatoires, chacune suivant une loi ayant un écart-type (ce qui n'est pas le cas de la loi de Cauchy par exemple, il y en a d'autres simples). La conclusion du TCL porte sur la loi limite suivie par la moyenne Y=(X1+...+Xn)/n^0.5 , qui est une loi normale.

Le problème de Dlzlogic est qu'il ne maîtrise pas les notions de la théorie des probabilités, bien qu'il affirme le contraire. Il ne comprend pas le TCL, bien qu'il affirme le contraire, car il a toujours confondu les variables X1,..., Xn et leur moyenne (X1+...+Xn)/n .
Tant et si bien qu'il annonce des résultats , je cite
<< Sur un tirage ou une expérience quelconque, la répartition des écarts à la moyenne est la répartition normale >>
ce qui est un contre-sens mathématique énorme... et qu'il ne conçoit pas.
De plus, il avait la fâcheuse manie de mépriser les personnes qui en savent bien davantage que lui (alors qu'il se met lui-même au-dessus des spécialistes, ie Docteur es probabilités, par exemple...)

La loi binomiale s'approxime bien par la loi normale car la loi binomiale est une somme (de lois de Bernoulli). C'est l'une des premières version du TCL.

[beagle]

Salut Léon1789,
merci pour ces précisions qui recadrent très bien, éclairent très bien ce que faisait Dlzlogic.

Perso j'aimais bien le bonhomme même si après un échange de mails privés de tout un WE j'aurais pu le tuer pour la façon dont il s'échappait à la contradiction que je lui mettais sous le nez avec les boules noires et blanches ou rouges et noires je sais plus.
L'avantage de Dzlogic c'est qu'à l'époque on te voyait bien régulièrement sur le forum.
Et pour moi à essayer de dialoguer, contredire ses affirmations je pense que j'ai progressé!

Ensuite il ne le prenait pas de haut comme tu le dis, mais affirmait que les gens du terrain étaient les mieux placés et que les mathématiciens ne pouvaient pas comprendre car pas dans le réel. L'ennui c'est que l'homme de terrain n'avait l'expérience que de son terrain et niait l'existence d'autres réalités.

mais c'est les bonnes années du forum, ça!