Probabilité univers infini

[clairee082]

Bonjour, je commence le chapitre sur les probabilités d'univers infini et je bloque sur un exercice. Voici l'énoncé :

une puce évolue sur trois cases À,B, C. À l'instant. t=0 La puce se trouve sur la case À puis elle se déplace de façon aléatoire sur ces cases, selon la règle suivante : si la puce se trouve en A ou en B à l'instant t= n Elle ira sur l'une des deux autres cases avec équiprobabilité à l'instant t = n + 1. Si la puce se trouve en C à l'instant t = n, elle y restera à l'instant t=n+1.
On note An, (resp Bn, Cn) l'événement : "la puce se trouve en A (resp. B, C) à l'instant t = n et on note an, bn et en les probabilités correspondantes.
1. Etablir une relation de récurrence entre an+1, bn+1, Cn+1 et an, bn, Cn.
2. Remarquer que la suite (an + Un) est géométrique et déduire la valeur de cn en fonction de n.
3. Déterminer les expressions de bn et an en fonction de n.
4. Calculer la probabilité de l'événement E "la puce atteint la case C".

Pour la question la réponse semble évidemment être An+1 = 1/2 ( Bn + cn)
Bn+1 = 1/2 (An+Cn)
Cn+1 = Cn
Mais je ne sais pas quelle est la formule utilisée pour l'expliquer. J'ai utilisé celle des probabilités totale mais cela ne fonctionne pas.

Merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Tes probas. pour sont très clairement fausses vu que la somme des 3 n'est en général pas égale à 1.
Pour , par exemple, vu que la seule et unique façon d'arriver en c'est en partant de et que, partant de , il y a une chance sur deux d'aller en , c'est que .
Cherche les deux autres (et vérifie que la somme des 3 fait bien 1).
Et si tu tient absolument à faire "dans le pédant" plutôt que de simplement utiliser ton bon sens, ce qu'il faut écrire, c'est que où les proba. conditionnelles du type sont données par l'énoncé (c'est la proba d'aller en sachant qu'on est en )

[clairee082]

Merci de votre réponse !
Ah oui mince, j'ai donc trouvé a_n+1 = 1/2 bn
b_n+1 = 1/2 an et c_n+1 = cn + 1/2 an + 1/2bn

Pour la question 2, j'ai trouvé que (S_n+1) = 1/2 * S_n avec Sn = (a_n + b_n)
donc la suite est géométrique de raison 1/2.

donc pour en déduire c_n j'ai remarquer que à l'instant initial t = 0, nous avons c_0 = a_0 + b_0.
De plus on a S_n = (a_0 + b_0)(1/2)^n
Donc, à tout instant t = n, nous avons cn = an + bn.
Ainsi c_n = c_0 * (1/2)^n

Est-ce le bon raisonnement ?

[Ben314]

Oui.
De plus, l'énoncé te dit que .

[clairee082]

D'accord merci beaucoup !!

[catamat]

Attention on a

Donc

D'autre part s'il faut calculer et en fonction de n, il faudrait montrer que telle que est géométrique (de raison -1/2)

[Ben314]

Effectivement j'ai lu la fin de travers :

Donc, à tout instant t = n, nous avons cn = an + bn.
Ainsi c_n = c_0 * (1/2)^n

en lisant là où il est écrit .
Et si on veut calculer les et les (ce qui ne me semble pas demandé), on peut aussi partir du fait que et .

[clairee082]

Je ne comprends pas pourquoi cn = 1- (1/2)^n
On n'utilise pas ma formule générale d'une suite géométrique ?

[catamat]

A la question 3 il semblerait qu'on demande an et bn en fonction de n, mais effectivement ce n'est pas clair. On pourrait penser que c'est juste an+bn.

@Claire082
Mais la suite n'est pas géométrique c'est qui l'est.

On peut remarquer que la limite de est 1

[clairee082]

Je trouve cn = 1- (an + bn) = 1-Sn = 1 - (S0 *(1/2)^n)
mais est ce que S0 = 0 car a l'instant t la puce ce trouve sur la case À ?

[catamat]

Non So=a0+b0=1+0=1

[clairee082]

Ah oui mince merci. Donc pour trouver an et bn il faut utiliser ce résultat ?

[catamat]

Je proposais :

montrer que telle que est géométrique (de raison -1/2)

On a alors et en fonction de n.
En les ajoutant on obtient en les soustrayant on obtient

Ceci dit Ben314 vous a proposé une autre méthode, voir plus haut.

[clairee082]

Ah oui je vois comment faire, merci beaucoup