Probabilité : Tirage

[sjfeg]

Bonjour,

J'ai une urne avec boules de couleur 1, boules de couleur 2, ..., boules de couleur p.

Je tire sans remise jusqu'à l'obtention d'une couleur complète (ie j'ai tiré toutes les boules de la couleur). Quelle est la probabilité que j'ai obtenu la couleur k ?

[Sylviel]

Bonjour,

la question ne me semble pas simple (du moins je ne vois pas de solution simple).
Vient-elle d'un exercice ? Y a-t-il d'autres questions ?
En un mot est-on sûr que le problème a une "solution simple", ou suffit-il de proposer un calcul récursif / numérique ?

[sjfeg]

1) La question n'est pas issue d'un exercice, j'aurais du la poster dans la rubrique Café. Désolé :marteau:

2) S'il existe une expression formelle de la probabilité recherchée, elle m'échappe. Je cherche plutôt une formule de récurrence qui me permette de faire un calcul numérique.

[mrif]

1) La question n'est pas issue d'un exercice, j'aurais du la poster dans la rubrique Café. Désolé :marteau:

2) S'il existe une expression formelle de la probabilité recherchée, elle m'échappe. Je cherche plutôt une formule de récurrence qui me permette de faire un calcul numérique.

Une solution est d'introduire p variables aléatoires où correspond au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la couleur complète i.

Les valeurs prises par sont où

La probabilité d'obtenir la couleur k sera
Il reste à trouver la loi de chaque qui ne devrait pas être trop difficile.

[wserdx]

Je propose une formule qui me parait un peu monstrueuse mais peut-être accessible.
j'appelle la probabilité qu'à la fin d'un tirage j'ai tiré exactement boules de couleur 1 etc boules de couleur .

Si je tire la couleur k complète, cela veut dire qu'au dernier tirage je tire une boule de couleur , et j'ai tiré au plus boules de couleur et exactement boules de couleur .
La proba cherchée est donc

[wserdx]

La proba peut s'exprimer ainsi:

[sjfeg]

D'accord sur la proba . Pour la probabilité recherchée, le dénominateur n'est-il pas plutôt ?

[wserdx]

J'ai tiré boules parmi les , il en reste donc . La probabilité de tirer la dernière boule de couleur est donc
. On prend soin de prendre
ça peut donc se réécrire si tu veux

[sjfeg]

Exact :marteau:

[Ben314]

Salut,
Aprés moult essais donnant des solutions assez compliquées, j'ai fini par trouver une formule pas trop compliquée.
La proba. que la première "couleur complète" obtenue soit la couleur 1 est :


Par exemple, si l'urne contient boules Rouges, boules Vertes, boules Bleues et boules Jaunes (donc p=4 couleurs avec boules) alors la proba. que la première "couleur complète" obtenue soit Rouge est ;



et je suis pas sûr qu'on puisse faire tellement plus simple comme formule...

[sjfeg]

Merci à tous les 3 pour vos réponses :++:

Comme je m'intéresse à un modèle avec 6+ couleurs, j'ai pris la formule de wserdx qui se programme facilement avec quelques boucles imbriquées. :we:

[Ben314]

Comme je m'intéresse à un modèle avec 6+ couleurs, j'ai pris la formule de wserdx qui se programme facilement avec quelques boucles imbriquées. :we:

Je sais pas trop comment tu programme pour trouver que la somme

qui contient termes est plus "simple" que la somme

qui elle ne contient que termes...