Probabilité d'avoir toutes les couleurs dans un tirage de boules

[lirabo]

Hello

Je n'arrive pas à résoudre par une formule simple ce problème de proba ou dénombrement.

On tire sans remise des boules dans une urne. Il y a M tirages, Ni boules de couleurs i (i variant de 1 à K) au total l'urne contient donc N = somme (Ni) boules

Quelle est la proba d'avoir au moins une boule de chaque couleur.

Je ne sais pas, en fait, s'il y a une formule simple. On peut trouver facilement la proba d'avoir un tirage si on impose le nombre Mi de boules tirées dans chaque couleur. On peut alors faire la somme pour toutes les distributions {Mi} en excluant celles qui ont des i tq Mi=0. Mais la formule obtenue est complexe.

[Ben314]

Salut,
Si tu veut mon avis, la seule formule que je vois est de considérer la proba de ne pas avoir au moins une boule de chaque couleur.
Pour cela, tu note X_i les tirages (de M boules) ne contenant pas la couleur i (façile à calculer) puis tu calcule le cardinal de la réunion des X_i en utilisant le principe d'inclusion-exclusion.

Le résultat n'est pas ce que j'appelerais une "formule simple" (à moins que ça se simplifie vachement ce qui signifierait sans doute... qu'il y a une méthode de calcul plus simple...)

P.S. En (re)regardant ce que tu as écrit, j'ai l'impression que ce que je propose est... la même chose que ce que tu as fait !!! :marteau: