Probabilité (Tirage uniforme sans remise)

[awabi]

Bonjour, j'ai essayé de faire un exercice de proba mais suis pas très très sur de mon résultat. Voici l'énoncé
Un certain soir, Jojo reçoit dix de ses amis chez lui. En fin de soirée,
après un repas bien arrosé, ceux-ci ne sont plus en état de retrouver leur chapeau
parmi ceux des autres, et s’en retournent donc chez eux (en taxi) après avoir choisi
au hasard l’un des dix chapeaux en présence. On s’intéresse au nombre X des amis
de Jojo ayant effectivement retrouvé leur propre chapeau. Décrivez précisément la
modélisation du tirage aléatoire des chapeaux par les invités que vous allez adopter
(indication : une affectation des chapeaux aux invités peut, par exemple, se représenter
par une permutation des entiers de 1 à 10). On définit les variables aléatoires
X1,X2, . . . ,X10 par :
Xi = 1
{l’invité numéro i a retrouvé son chapeau}
.
– exprimez X en fonction des Xi ;
– calculez l’espérance de X ;
– calculez la variance de X ;
– calculez la probabilité pour que X = 0

merci d'avance.

[awabi]

retrouvé son chapeau).
1) X en fonction de Xi.
X = ;)Xi pour i allant de 1 à 10.
2) Calcul de l'espérence de X.
E(Xi) = 0 ou 1
Si l'invité i trouve son chapeau:
E(Xi) = P(de retrouver son chapeau) = 1/10.
E(X) = ;)E(Xi) i allant de 1 à 10.
= 1
3) La variance de X.
V(X) = E [ (X  E(X) )² ].
Xi² = X².
V(Xi) = E(Xi²)  (E(Xi))² = E(Xi)  (E(Xi))² = 1/10  (1/10)²
= 9/100 .
V(Y+Z) = V(Y) + V(Z) + 2 COV(Y,Z) .
COV(Y,Z) = E(YZ) -E(Y)E(Z) .
Donc
V(X1 + X2 +..............+ X10) = ;)
i=1
10
V (Xi) + 2 ;)
i;)j
COV (Xi ,Xj )
= 10 * (9/100) + 2 ;)
i;)j
E(Xi, Xj );)E(Xi )E(Xj )
E(Xi,Xj) = 1/10 * 1/9 = 1/90 .
Et donc V(X1 + X2 +..............+ X10) = 9/10 + 2 ;)
i ;)j
1/90;)1/100
= 9/10 + 2 (10(10 - 1) /2) * 1/900
= 9/10 + 90/900
= 9/10 + 1/10
= 1

[alavacommejetepousse]

bonjour c 'est correct (et magique car on trouve la même chose avec n chapeaux)

[awabi]

ah merci ça m'avait l'air bizarre. Par contre la dernière question j'y arrive pas trop

[alavacommejetepousse]

c'est plus compliqué

{X= 0} = inter {Xi = 0}

on passe par le contraire et on écrit la formule du crible

{X différent de 0 } s 'écrit comme une somme qui ne se calcule pas

[awabi]

Est ce que c 9/10
ou peut etre
9/10 * 8/9......

[alavacommejetepousse]

non

fais ce que je t 'ai indiqué

[awabi]

j'arrive pas à faire l'intersection des Xi sachant que ce ne sont pas des ensembles

[alavacommejetepousse]

pas des Xi mais des {Xi = 0 }


par complémentaire
on regarde U {Xi = 1} puis formule du crible

combien vaut

card [{Xi1 = 1}inter {Xi2= 1} ... inter {Xik = 1}] avec

1=

[awabi]

card [{Xi1 = 1}inter {Xi2= 1} ... inter {Xik = 1}] c 1 ?

[alavacommejetepousse]

ça ne dépend pas de k ?

[awabi]

je pense que je vais laisser tomber car je n'arrive pas à appliquer la formule.
Merci bcp pour votre aide.

[nuage]

Salut,
Pour P(X)=0 il y a eu un sujet la dessus assez récemment.
Il faut trouver le nombre de permutation sans point fixe de {1...10}.
On trouve
La démonstration se fait par récurrence sur le nombre de personnes.

[alavacommejetepousse]

sans récurrence

la formule du crible donne

P ( X non nul) = sigma (sur k) (-1)^(k-1) sigma P ({ Xi1= 1} inter ...{Xik= 1}
le deuxième sigma est étendu à tous

les i1 < i2
la proba de l 'intersection vaut (10-k) ! / 10 ! indépendantes des i1, i2

et il y a (k parmi 10 ) termes ds le sigma donc

P ( X non nul) = sigma (-1)^(k-1) / k!

[nuage]

Je suis d'accord, à condition de prendre
Dans ta formule on a

[alavacommejetepousse]

oui
et 1- P(X non nul) = P ( X = 0)

et le premier 1 donne le terme k = 0 de ta somme

[awabi]

Merci bcp maintenant j'ai compris