Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide. Je travaille sur un exercice et je n'arrive pas à le résoudre.
On a une urne dans laquelle on met 1 boule blanche et n-1 boules noires. Il y a trois jours, A, B, C. Les trois joueurs tirent à tour de rôle une boule dans cette urne dans l'ordre suivant ; A puis B puis C.
Le gagnant est le premier qui tire la boule blanche.
Pour tout k appartient à N, on note Ak = A gagne au kième tirage (idem pour Bk et Ck)
Les tirages se font sans remise de la boule tirée.
Pour tout K compris entre 1 et n, il faut calculer P(alpha barre 1 inter .... alpha barre K ) (désole pour l'écriture, mais c'est la probabilité de perdre au kième tirage)
et déduire ensuite que la probabilité de gagner au kième tirage est 1/n
Pour ma part j'ai du mal à voir l'influence qu'à les tirages précédant ont sur le kième tirage.
J'aurais tendance à dire qu'au kième tirage la probabilité de perdre est :
p =( (n-1) - K) / (n-K) on m'appuyant sur le nombre de cas possible et le nombre de cas favorable.
Mais j'ai bien conscience qu'il faut considérer les tirages d'avant. Le kième tirage ne peur perdre que si les (k-1)ième ont perdu.
Mais tout cela n'est pas clair.
Merci d'avance pour votre aide!!
Probabilité : tirage sans remise
6 messages
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par nuage » 09 Nov 2009, 21:04
Salut,
on peut considérer que les boules sont numérotés de 1 à n est que le tirage est une permutation aléatoire de
, on tire toutes les boules ce qui ne change rien au gagnant.
Il est clair que la probabilité pour que la boule blanche se retrouve à la position k est!}{n!}=\frac1n)
car il y a (n-1)! façons de placer les boules noires une fois que l'on a placé la boule blanche.
Sinon on peut voir ça avec des probabilités conditionnelles, ce qui est sans doute plus dans l'esprit de l'exercice :
On désigne par
l'évènement : les 
premières boules tirées sont noires.
=\frac{n-1}{n}\ ; \ \text{P}(N_2)=\frac{n-1}{n}\times \frac{n-2}{n-1}=\frac{n-2}{n})
etc... =\frac{n-k}{n})
Après on a la probabilité de gagner au k-ième tirage qui est égale à\cdot \frac1{n-k+1})
Et je te laisse conclure...
[modification : correction de l'orthographe]
on peut considérer que les boules sont numérotés de 1 à n est que le tirage est une permutation aléatoire de
Il est clair que la probabilité pour que la boule blanche se retrouve à la position k est
Sinon on peut voir ça avec des probabilités conditionnelles, ce qui est sans doute plus dans l'esprit de l'exercice :
On désigne par
Après on a la probabilité de gagner au k-ième tirage qui est égale à
Et je te laisse conclure...
[modification : correction de l'orthographe]
par emmanuel 68 » 10 Nov 2009, 19:41
Bonsoir,
J'aurais à nouveau besoin de vos conseils.
Sur le même exercice que hier, nous avons toujours 3 joueurs (A,B,C) avec A qui tire le premier, puis B, puis C en dernier.
Il est évident qu'avec un tirage sans remise, la proba que A gagne est de 1/3, idem pour B et pour C, mais cela uniquement si le nombre de boule est un multiple de 3 (donc si les 3 joueurs tirent le même nombre de fois).
Or, on pose que le nombre de boules est égale à 3m+1 (m avec N). Donc le joueur A tire une fois de plus que les autres.
On doit alors démontrer que P(A) = (m + 1) / (3m + 1)
Mais comment peut-on déterminer P(A)?
J'ai tenté de dire que le joueur A tire m/3 + 1 fois, alors que les joueurs B et C ne tirent que m/3 fois, mais ca ne m'avance pas.
J'ai alors tenté en disant que P(A) = 1/3 + la probabilité de gagner au dernier tirage. J'ai posé que gagné au dernier tirage voulait dire que tout le monde avait perdu à l'ensemble des K-1 tirages mais ca ne donne rien non plus.
Pouvez vous simplement me donner une piste?
Merci!
J'aurais à nouveau besoin de vos conseils.
Sur le même exercice que hier, nous avons toujours 3 joueurs (A,B,C) avec A qui tire le premier, puis B, puis C en dernier.
Il est évident qu'avec un tirage sans remise, la proba que A gagne est de 1/3, idem pour B et pour C, mais cela uniquement si le nombre de boule est un multiple de 3 (donc si les 3 joueurs tirent le même nombre de fois).
Or, on pose que le nombre de boules est égale à 3m+1 (m avec N). Donc le joueur A tire une fois de plus que les autres.
On doit alors démontrer que P(A) = (m + 1) / (3m + 1)
Mais comment peut-on déterminer P(A)?
J'ai tenté de dire que le joueur A tire m/3 + 1 fois, alors que les joueurs B et C ne tirent que m/3 fois, mais ca ne m'avance pas.
J'ai alors tenté en disant que P(A) = 1/3 + la probabilité de gagner au dernier tirage. J'ai posé que gagné au dernier tirage voulait dire que tout le monde avait perdu à l'ensemble des K-1 tirages mais ca ne donne rien non plus.
Pouvez vous simplement me donner une piste?
Merci!
par alavacommejetepousse » 10 Nov 2009, 19:51
bonsoir
il me semblait que nuage avait donné la solution pour n quelconque
la probabilité de gagner à un tirage quelconque est 1/n
il suffit de savoir combien de fois A joue dans le cas où n = 3m+1
il me semblait que nuage avait donné la solution pour n quelconque
la probabilité de gagner à un tirage quelconque est 1/n
il suffit de savoir combien de fois A joue dans le cas où n = 3m+1
par emmanuel 68 » 10 Nov 2009, 20:03
Oui effectivement.
Excusez moi, ca fait une heure que je me prends la tête pour rien.....
Mais merci!!
Excusez moi, ca fait une heure que je me prends la tête pour rien.....
Mais merci!!
6 messages
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