Probabilité, v.a défini par récurrence

[AyaBe]

Bonjour, j'aimerais un peu d'aide sur ce problème.
ça fait deux jours que j'essaie mais j'arrive jamais à la formule demandée.
Voici l'énoncé :
Soit , . . . des variables aléatoires i.i.d. avec
P(= 0) = a and P(> y) =(1−a)exp (-y) pour y > 0.
On définit pour n ≥ 0 de manière récurrente par by = 0 et Xn+1 = a+
Montrez que P( > x) = (1 − )exp (-x) pour tout x > 0.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonne journée

[evaristeG]

Bonjour.

Avez-vous essayé une démonstration par récurrence ?

[AyaBe]

Oui j'ai essayé, mais bizzarement à la fin de mes calcules je n'ai pas le ^n dans la formule...

[evaristeG]

En mettant les calculs que vous avez effectués, peut-être serons-nous à même de voir ce qui se passe.

[aviateur]

Bonjour
On a mais c'est facile de voir que et sont indépendantes.

Posons pour et
Ces deux fonctions sont connues par hypothèse de récurrence.

On veut donc calculer

Mais
On a donc
il reste à finir en utilisant l'indépendance. Je ne vois pas de problème la question est correcte.

[AyaBe]

oui je vois où je me trompais.
J'y arrive enfin. Merci de votre aide.

[tournesol]

@ aviateur
S'il te plait deux questions/
Comment démontres tu que et sont indépendantes?
Comment calcules tu ?

[aviateur]

Bonjour d'abord il faut corriger c'est et non pas
Donc dans le raisonnement que j'ai donné il faut lire à la place de et bien sûr
avec l'énoncé original on a et indépendants.
Ceci étant dit cela ne change rien au calcul car et suivent la même loi.

Donc si je corrige les deux dernières de mon message précédent ça donne:

Mais

On a donc

Si je continue ça donne encore



Soit après simplification : ok.

[tournesol]

Merci a toi aviateur .
je n'ai encore pas tout compris .je vais etudier ta reponse afin de pouvoir t'expliquer en détail ce que je n'ai pas compris et pourquoi je ne l'ai pas compris .

[aviateur]

Bonjour
Il me semble que tu as soulevé 2 points
1. L'indépendance de et
Là je ne vois pas de problème. En effet ne dépend que des

Comme est indépendante des alors elle est indépendante de toute fonction des donc de

2. Le second point ?
Si le second point c'est le calcul de alors:
la proba est égale à
où D est l'ensemble des couples (u,v) t.q (faire un dessin).
Ensuite l'indépendance donne sur le domaine considéré (la masse de ces 2 v.a en x=0 ne joue aucun rôle ici).
Ces densités s'obtiennent à partir de l'hypothèse pour et de l'hypothèse de récurrence pour

[tournesol]

Je ne suis plus au niveau pour comprendre mais je vais faire les révisions adhoc.
En ce qui concerne l'indépendance , on a :

Voici , je suppose ( confirmes moi ) le résultat général que je dois réviser .
Y est une variable aleatoire réelle indépendante des var
soit f une application de dans
Alors Y et sont independantes .
Ca parait logique et comme disait mon vieux prof de probas , si ça semble logiquement indépendant , c'est presque sûrement stokastiquement indépendant .

[tournesol]

stoCHastiquement

[aviateur]

Pour moi l'indépendance en proba c'est à double sens, i;e
Elle va de soi, elle est évidente: comme par exemple je jette 2 dés. Les résultats fournis par chacun des 2 dès sont indépendants.
L'autre sens elle n'est pas évidente. C'est le calcul qui va le fournir.

Comme par exemple je jette un dès. On considère l'événement A "le nombre sorti est pair" et B "le nombre sorti est plus grand que 2". C'est le calcul qui montrera l'indépendance ou non.

Ici on est dans le premier cas.

[tournesol]

Tu appliques ce que disait mon prof : l'indépendance logique entraine l'independance stochastique , ie , il existe les espaces probabilisés appropriés qui permettent de la démontrer .
C'est le cas du lancer de deux dés.

[beagle]

pas besoin du calcul pour indépendance dans le cas présenté par aviateur, heureusement!

[tournesol]

Voila ce que j'aimerais démontrer , et non pas par evidence mais par calcul :
Soit un espace probabilisé .
Soient Y , , et trois variables aléatoires définies sur , et à valeurs respectivement dans les espaces mesurables , , et , telles que :
Y et sont indépendantes , et Y et X_2 sont indépendantes .
Soit Z la variables aléatoire definie sur par ,et donc à valeurs dans .
Démontrer que Y et Z sont indépendantes .

[beagle]

date péremption dépassée

[tournesol]

Je suis en train de réviser mes probas , donc ce n'est pas pour moi non plus ; peut-être pour aviateur ?

[tournesol]

@ aviateur
avec équiprobabilité .
= abscisse , = ordonnée , , et
On a et indépendantes mais surtout :
et indépendantes ainsi que et (démo infra)
Or ne dépend que des valeurs prises par et donc l'indépendance de avec est évidente .
Sauf que ne sont pas indépendantes.
Pas indépendantes logiquement : ssi
Ni stochastiquement : par incompatibilité .
Mais et
infra
et
et
et
et

[aviateur]

Voila ce que j'aimerais démontrer , et non pas par evidence mais par calcul :
Soit un espace probabilisé .
Soient Y , , et trois variables aléatoires définies sur , et à valeurs respectivement dans les espaces mesurables , , et , telles que :
Y et sont indépendantes , et Y et X_2 sont indépendantes .
Soit Z la variables aléatoire definie sur par ,et donc à valeurs dans .
Démontrer que Y et Z sont indépendantes .

Bonjour
Je ne pense pas que cela soit vrai.