(Topologie) Démonstration de l'équivalence entre deux défini

[mmestre]

Bonjour,

Je suis en train de m'arracher les cheveux sur une démonstration de topologie qui devrait pourtant être simple.

Je cherche à démontrer l'équivalence des deux définitions "standard" de l'adhérence d'un sous-ensemble A d'un espace topologique X :

1) , où est la famille de tous les sous-ensembles fermés de X contenant A.

2) Tout voisinage d'un élément x de a une intersection non vide avec A.

C'est trivial si le point x est dans A, mais si il est dans sans être dans A, c'est là où tout se complique..

J'ai essayé les choses suivantes (sans succès) pour un voisinage donné V du point x :
-Considérer le complémentaire dans X de l'ouvert contenu dans V ; il est donc fermé et contient X\V.. et ensuite ?
-Considérer le complémentaire dans X d'un membre quelconque de l'intersection du 1) ; il s'agit donc d'un ouvert contenu dans X\A.. et ensuite ?

Auriez-vous des pistes pour me mettre sur la bonne voie ?
Merci à tous d'avance !
Michael

[Ben314]

Bon, déjà, si tu veux montrer ce qenre de truc, tu as intérêt à écrire les deux définitions correctement et, évidement, à donner des noms différents aux objects construits :

Soit (X,T) un espace topologique et A une partie de X. On pose :
F=l'intersection de tout les fermés contenant A.
G=l'ensemble des x de X tels que tout voisinage de x rencontre A
QUESTION : Montrer que F=G.

Ensuite, comme "plan" de preuve, je te proposerait bien :
Soit x un élément quelconque de X.
1) On suppose que x n'est pas dans G. Cela signifie que ... ... donc x n'est pas dans F.
2) On suppose que x n'est pas dans F. Cela signifie que ... ... donc x n'est pas dans G
Conclusion.

P.S. Traiter à part le cas où x est dans A n'a pas tellement d'intérêt...

[mmestre]

Merci à vous pour cette suggestion :we: . Je vais essayer ce plan de démonstration.

En vous souhaitant une excellente journée !
Michael

[mmestre]

Voilà, c'est un peu maladroit mais ça devrait faire l'affaire pour la démonstration :

--------
Soit un espace topologique et A une partie de X . On pose :

-F l'intersection de tous les fermés contenant A .
-G l'ensemble des tels que tout voisinage de x rencontre A .


1) On suppose que . Montrons que .

il existe des fermés de X contenant A dont x n'est pas membre. Il faut montrer qu'il existe des voisinages de x ne rencontrant pas A.

Considérons un fermé S de X contenant A tel que (ça existe d'après l'hypothèse). Donc est un ouvert contenu dans . De plus, .

Donc est un voisinage de x (il est ouvert et se contient lui-même). Comme , . est bien un voisinage de x ne rencontrant pas A.

On a bien montré l'existence d'un voisinage de x ne recontrant pas A. Donc .


2) On suppose que . Montrons que .

il existe des voisinages de x ne rencontrant pas A. Soit V un tel voisinage de x , on a .

On doit montrer qu'il existe un fermé S de X contenant A tel que .

V est un voisinage de x donc il existe un ouvert de X tel que . est donc un fermé de X avec .

On a , et de plus comme l'ensemble vide est contenu dans tout ensemble, . En conséquence, .

On a établi , d'où . On se rappelle que est aussi un fermé de X et que .

On a bien montré l'existence d'un fermé contenant A dont x n'est pas membre. Donc .

[Ben314]

C'est impeccable.

[mmestre]

Merci encore pour votre aide !

[alavacommejetepousse]

bonjour
on peut même travailler par équivalence

[mmestre]

Merci pour votre suggestion, j'essaierai ça..