Primitive, intégration.

[ACatToTheMoon]

Bonjour,
Se trouve en fichier joint une correction d'exercice où l'on doit intégrer une fonction par parties.
Cependant, la primitive donnée dans la correction (en noir) n'est pas celle que j'aurai spontanément trouvé (en rouge). Je ne comprends pas d'où vient la constante de 1/2 ni son intérêt d'autant plus que le résultat du calcul de l'intégrale change en fonction de la primitive utilisée.
Merci par avance.

[zygomatique]

salut

que peut-on dire de deux primitives d'une même fonction ?

[ACatToTheMoon]

salut

que peut-on dire de deux primitives d'une même fonction ?

Qu'elles sont égales ?

[zygomatique]

alors révise un cours ...

[ACatToTheMoon]

Par égales, je voulais surtout dire qu'elles ne différaient que par leur constante. Ce que je n'ignore pas. D'ailleurs, les deux primitives lorsqu'elles sont dérivées donnent le même résultat soit (t-1). Cependant, je ne comprends pas pourquoi lors du calcul entier de l'intégral, le résultat diffère...

[zygomatique]

alors tu as fait une erreur

u(t) = t - 1 <=> u(t) = 1(t - 1) est de la forme u'u dont une primitive est (1/2)u^2 = (1/2)(t - 1)^2

mais le résultat de l'intégrale est unique quelle que soit la primitive utilisée ...

l'avantage du choix de cette primitive (ce que je choisis toujours pour la simplicité du calcul) c'est qu'elle s'annule en 1 qui est une des bornes de l'intégrale ...

et si tu veux qu'on t'aide plus montre nous tes calculs ...

[Lostounet]

Bonjour,

Le calcul donne la même chose, quel que soit ton choix de primitives !

Si on choisit ta primitive, u = t^2/2 - t avec v = ln(t) donc v' = 1/t
On obtient:


Par contre, si on choisit , le calcul à faire est:



Des fois, on peut préférer choisir une primitive plutôt qu'une autre pour faciliter le calcul (par exemple ici, u(t) = (t - 1)^2/2 s'annule en 1 mais on avait déjà cette annulation grâce au logarithme ...). On y arrive à tous les coups de toute manière.

[ACatToTheMoon]

Merci pour vos réponses !
J'ai essayé de faire le calcul de mon côté avec les deux primitives cependant l'un des deux calculs est erroné. Pouvez-vous m'aider à retrouver l'erreur s'il vous plaît ?

Pouvez-vous m'en dire plus sur le choix de la constante ? Quelle valeur est-il conseillé d'utiliser par rapport aux bornes ?
J'ai trouvé le calcul avec la primitive sans constante plus simple à réaliser cependant ce n'est pas celui figurant sur ma correction.

[Lostounet]

Correction: (clique sur l'image)

Et il vaut mieux calculer les expressions entre parenthèses d'abord avant de développer mais bon j'ai fait comme toi pour que tu trouves ton erreur. D'ailleurs comme est une constante, on peut tout à fait calculer l'intégrale comme je l'ai fait plus haut et multiplier par par la suite.

[ACatToTheMoon]

Merci pour votre réponse très claire ! Cependant, je ne comprends pas pourquoi on distribue Mo.

k[F] aux bornes 1 et 2, par exemple est égal à : kF(2) - kF(1), c'est cela ?

Et concernant le choix d'une constante qui s'annule, il est préférable de la prendre pour quelle borne ? L'inférieure ou la supérieure ?

[Lostounet]

Merci pour votre réponse très claire ! Cependant, je ne comprends pas pourquoi on distribue Mo.

k[F] aux bornes 1 et 2, par exemple est égal à : kF(2) - kF(1), c'est cela ?

Et concernant le choix d'une constante qui s'annule, il est préférable de la prendre pour quelle borne ? L'inférieure ou la supérieure ?

Ben oui; si tu prends l'intégrale à part et que tu la calcules, tu auras F(2)-F(1)

Et k=M0 multiplié par tout cela doit donner:
k*intégrale=k*(F(2)-F(1))=k×F(2)-k×F(1)

Au pire si tu es dans le doute, il te suffit de calculer à part la valeur de l'intégrale puis de multiplier le résultat par M0 à la fin.
On retombe toujours sur nos pattes.

Pour le choix de la constante, peu importe... ici ça aurait peut-être été encore mieux de choisir
u(t)=t^2/2-t telle que u(2)=0. Si tu regardes mon calcul plus haut tu verras que le premier est un peu plus rapide que le second. Tu vois?
Comme cela dans [uv] on a une annulation en 2 car u(2)=0 donc u(2)×v(2)=0 et en 1 aussi car v(1)=0 donc u(1)v(1)=0... mais bon. Tout cela est accessoire: il faut savoir en priorité calculer correctement déjà avec les règles de base.

[ACatToTheMoon]

Et bien merci beaucoup pour toutes ces réponses. Ça m'a vachement aidée. Bonne journée à vous.