Polynomes

par **barbu23** » 21 Jan 2010, 13:04

Bonjour à tous : :happy3:
Je voudrais à l'aide de la definition de l'irreductibilité d'un polynome , établir si le polynome suivant est réductible ou non :

Merci d'avance ! :happy3:

par **Finrod** » 21 Jan 2010, 13:20

P(X,X,X)=0

Donc on dirait bien que (YZ-X²) divise P (il me semble).

Le raisonnement est que on considère P comme appartenant à

i.e. X est une "constante".

C'est un peu loin pour moi ce genre d'exo mais je me souviens que c'est ce raisonnement là qu'il faut appliquer.

edit: A mon avis ça suffit pas. J'essai de faire revenir mes souvenirs.

par **Finrod** » 21 Jan 2010, 13:29

Autre chose me reviens

pose

Alors Q[X]=0 donc Q est divisible par (Z-X)

Par le calcul

Cela dit ce n'est pas suffisant pour prouver que P est réductible.

par **barbu23** » 21 Jan 2010, 13:30

Oui, mais que peut - on tirer comme conclusion sur le faut que :

? Merci d'avance ! :happy3:
En plus, je ne vois pas comment tu fais pour deduire que

divise

! En plus, moi, je cherche à établir la reductibilité à partir de la definition de ce qu'est l'irreductibilité d'un polynome en considerant

, mais seul je n'y arriverai pas ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 21 Jan 2010, 13:32

Finrod a écrit:Autre chose me reviens

pose

Alors Q[X]=0 donc Q est divisible par (Z-X)

Par le calcul

Cela dit ce n'est pas suffisant pour prouver que P est réductible.

Ok ! merci ! :happy3:

par **Finrod** » 21 Jan 2010, 13:34

hum, mais ça marche pas ce que j'ai fait, je cherche seulement.

Je l'ai fat plein de fois en prépa mais c'était il y a 7 ans déjà et la méthode ne me revient pas !

C'est classique normalement, tu vas donc forcément avoir une réponse.

par **barbu23** » 21 Jan 2010, 13:36

Ok! mais c'est très joli de pouvoir manipuler les polynomes de la sorte ! :happy3:

par **Finrod** » 21 Jan 2010, 13:42

J'ai une autre piste, comme deg(P)=3, s'il est réductible, il est forcément divisible par un polynôme de degrés 1. Soit aX+bY+cZ+d

Donc P(X,X,Z) est divisible par (a+b)X+cZ+d

par identification on a des relations sur a,b,c, et d.

On peut aussi regarder P(X,Y,X), P(Y,Y,Z) P(X,Y,Y) etc...

je regarde plus en détails.

par **Ben314** » 21 Jan 2010, 13:42

Salut,

par **Finrod** » 21 Jan 2010, 13:48

Finrod a écrit:Autre chose me reviens

pose

Alors Q[X]=0 donc Q est divisible par (Z-X)

Par le calcul

Cela dit ce n'est pas suffisant pour prouver que P est réductible.

on peut continuer ce raisonnement, le delta de l'equation du second degrès qui apprait (je prend l'équation de la variable X ou Z est regardé comme une cste) est

soit

par **Finrod** » 21 Jan 2010, 13:49

Ben314 a écrit:Salut,

Dans des cas plus complexes, tu ne te souviendrais pas mieux que moi, par hasard, de la méthode à appliquer ?

(je trouve mon approche un pe trop laborieuse, même s'il n'y avais pas de factorisation directe)

par **Ben314** » 21 Jan 2010, 13:56

Il y a un critère "radical" (i.e. pas d'essais à faire) pour déterminer l'irréductibilité des poly. à plusieurs variables sur un corps algébriquement clos :
http://maths-forum.com/showthread.php?t=99397
J'ai pas encore trouvé le "chainon manquant" (théorème B2) mais j'aurais peut être le temps ce aprés midi...

Je suis à peu prés sûr que la méthode est constructive et que tu as des polynômes en les coeff de ton polynôme de départ qui sont nuls ssi le poly de départ est réductible (ou de degrés <n)...

par **barbu23** » 21 Jan 2010, 13:58

Ok ! Merci à tous ! :happy3:

par **Doraki** » 21 Jan 2010, 14:11

Ben314 a écrit:Salut,

et en notant

, on a

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