Polynômes

[The Void]

Bonjour, je bloque sur cet exo:
P étant un polynôme à coefficients complexes, F un fermé convexe de C et
V = { v dans C, P^(-1) ( {v} ) est inclu dans F}, il faut montrer que V est convexe.
J'ai essayé plusieurs choses (TFI, Gauss-Lucas...) mais je n'arrive à rien :help:
Merci

[ffpower]

C est bien Gauss Lucas,faut trouver le bon poly auquel appliquer.Si a,b sont dans V,regarder (Q=(P-a)(P-b))

[The Void]

Mais ton poly ne donne que (a+b)/2, non?
Dans le cas général, je ne vois pas quel polynôme poser, mais j'applique ce résultat sur a et (a+b)/2 et ainsi de suite pour obtenir une partie dense dans [a,b] qui est inclue dans V.
Si P(x)=ta +(1-t)b:
Il existe cn dans V, cn->ta +(1-t)b, d'après ce qui précède.
Pour tout y,P(y)=cn => y € F

Et si cn est proche de ta +(1-t)b, alors il existe xn proche de x tel que P(xn) = cn (pas très rigoureux, mais j'ai du mal à le rédiger, il faut séparer les cas P(x) extremums locaux).

xn->x et F étant fermé, x € F.

[ffpower]

oui,d une maniere generale,un fermé stable par (a+b)/2 est convexe par ton argument